Punktweise Konvergenz oder Gleichmäßige Konvergenz

Question

Aufgabe:

$$\begin{array}{l}{\text { } \text { Betrachten Sie jeweils die reellen Funktionen } s_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text { definiert durch }} \\ {\qquad \begin{array}{ll}{\text { a) } s_{n}(x)=\frac{3 n}{2+n x^{2}}, x \in \mathbb{R},} & {\text { b) } s_{n}(x)=\frac{2 n x^{2}}{3+n x^{2}}, x \in \mathbb{R}}\end{array}}\end{array}$$

$$\begin{array}{l}{\text { Entscheiden Sie jeweils für die Folgen }\left(s_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \text { von Funktionen } s_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}, \text { ob diese }} \\ {\text { i) punktweise konvergieren, und wenn ja, gegen welche Funktion } s: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},} \\ {\text { ii) gleichmäßig konvergieren, und wenn ja, gegen welche Funktion } s: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\end{array}$$

nx im Bruch
Problem/Ansatz:

keinen Ansatz

Comments

hallo

 kein Ansatz ist zu wenig, hast du wenigstens mal durch n gekürzt und dadurch die punktweise Konvergent gefunden= dann Punkte wie x=0 und x->oo untersuchen.

lul

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hab für a $$s \Leftrightarrow l i m_{n \rightarrow \infty}\left\|s_{n}-s\right\|_{\infty}=0$$ jetzt $$-\frac{6}{\left(2+n x^{2}\right) x^{2}}$$ raus wie muss ich dann weiter vorgehen? komme da auf 6*0 also 0 daraus folgt gleichm. Konv?

Answer 1

du hast schon viele Fragen eingestellt, in denen du keinen Ansatz formuliert hast. Das ist nicht Zweck dieses Forums. Schließlich sollen dir hier nur Gedankenstützen gegeben werden.

zu

$ia,b): \lim_{n \to \infty} s_n (x)= ...$ Das sollte dir nicht schwer fallen und ist eine Frage des Fleißes.

$iia,b)$ Nutze hier einfach die Eigenschaft der Supremumsnorm (wenn nicht bekannt, dann musst du es noch beweisen): Eine Folge $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert gleichmaßig gegen eine Grenzfunktion $s \Leftrightarrow lim_{n \to \infty} \|s_n-s\|_\infty = 0$. Hier kannst du die Funktionen $s$ aus Teilaufgabe $i)$ verwenden.

Comments

habe bei i jetzt 2 und 3 raus das ist somit meine Grenzfkt?

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nein, zeig was du gerechnet hast wobei 2, wobei 3? für welche x?

die Antworten, die du bekommst sind ausführlich, deine Nachfragen dazu dann doch sehr dürftig.

lul