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Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text {  }  \text {  Betrachten Sie jeweils die reellen Funktionen } s_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text { definiert durch }} \\ {\qquad \begin{array}{ll}{\text { a) } s_{n}(x)=\frac{3 n}{2+n x^{2}}, x \in \mathbb{R},} & {\text { b) } s_{n}(x)=\frac{2 n x^{2}}{3+n x^{2}}, x \in \mathbb{R}}\end{array}}\end{array} $$

$$ \begin{array}{l}{\text { Entscheiden Sie jeweils für die Folgen }\left(s_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \text { von Funktionen } s_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}, \text { ob diese }} \\ {\text { i) punktweise konvergieren, und wenn ja, gegen welche Funktion } s: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},} \\ {\text { ii) gleichmäßig konvergieren, und wenn ja, gegen welche Funktion } s: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\end{array} $$

nx im Bruch
Problem/Ansatz:


keinen Ansatz

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hallo

 kein Ansatz ist zu wenig, hast du wenigstens mal durch n gekürzt und dadurch die punktweise Konvergent gefunden= dann Punkte wie x=0 und x->oo untersuchen.

lul

hab für a $$ s \Leftrightarrow l i m_{n \rightarrow \infty}\left\|s_{n}-s\right\|_{\infty}=0 $$ jetzt $$ -\frac{6}{\left(2+n x^{2}\right) x^{2}} $$ raus wie muss ich dann weiter vorgehen? komme da auf 6*0 also 0 daraus folgt gleichm. Konv?

1 Antwort

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Beste Antwort

du hast schon viele Fragen eingestellt, in denen du keinen Ansatz formuliert hast. Das ist nicht Zweck dieses Forums. Schließlich sollen dir hier nur Gedankenstützen gegeben werden.

zu

\(ia,b): \lim_{n \to \infty} s_n (x)= ... \) Das sollte dir nicht schwer fallen und ist eine Frage des Fleißes.

\(iia,b)\) Nutze hier einfach die Eigenschaft der Supremumsnorm (wenn nicht bekannt, dann musst du es noch beweisen): Eine Folge \((s_n)_{n \in \mathbb{N}}\) konvergiert gleichmaßig gegen eine Grenzfunktion \(s \Leftrightarrow lim_{n \to \infty} \|s_n-s\|_\infty = 0\). Hier kannst du die Funktionen \(s\) aus Teilaufgabe \(i)\) verwenden.

Avatar von

habe bei i jetzt 2 und 3 raus das ist somit meine Grenzfkt?

nein, zeig was du gerechnet hast wobei 2, wobei 3? für welche x?

die Antworten, die du bekommst sind ausführlich, deine Nachfragen dazu dann doch sehr dürftig.

lul

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