Zeigen Sie: A = B genau dann, wenn P(A) = P(B).

Question

Aufgabe:

A = B genau dann, wenn P(A) = P(B).

Problem/Ansatz:

wie kann ich das zeigen?

Answer 1

Hallo

zu zeigen: \(A=B \Leftrightarrow \mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\).

Für "\(\Rightarrow\)":

Sei \(A=B\), dann gilt \(A=B:\Leftrightarrow \forall x(x\in A \leftrightarrow x\in B)\), also trivialerweise \(A\subset B\) und \(B\subset A\). Wenn \(A\subset B\) folgt, dass \( \mathcal{P}(A)\subset \mathcal{P}(B)\) und vice versa. Ingesamt also \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\)

Für "\(\Leftarrow\)":

Sei \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\). Dann gilt \(\mathcal{P}(A) \subset \mathcal{P}(B)\) und andersherum. Es folgt wieder \(A=B\).

Answer 2

Wir beweisen folgende äquivalente Aussage:

\( A\subseteq B \iff \mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(B) \)

Überlege dir mal, wieso die Aussage äquivalent zu deiner ist!

Hin-richtung: Gelte \(A\subseteq B\) und sei \(X\in\mathcal{P}(A)\). Zu zeigen: \( X\in \mathcal{P}(B)\).

Nach Definition von Potenzmengen gilt \(X\subseteq A\), nach Annahme gilt \(X\subseteq B\), also \(X\in\mathcal{P}(B)\).

Rück-richtung: Gelte \(\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(B)\) und sei \(x\in A\). Zu zeigen: \(x\in B\).

Dann gilt aber \(\{x\}\subseteq A\), also \( \{x\}\in\mathcal{P}(A)\), nach Annahme gilt dann auch \( \{x\}\in\mathcal{P}(B)\), und schließlich \(x\in X\).

Answer 3

"⇒"

Es ist M⊆A ⇔ M⊆A.

Ist A = B, dann folgt

        M⊆A ⇔ M⊆B

Somit gilt A = B ⇒ P(A) = P(B).

"⇐"

Es ist M = ⋃ P(M) für jede Menge M.

Es ist m ∈ ⋃ P(A) ⇔ m ∈ ⋃ P(A)

Ist P(A) = P(B), dann folgt

        m ∈ ⋃ P(A) ⇔ m ∈ ⋃ P(B)

also

        m ∈ A ⇔ m ∈ B

und somit

        A = B.

Es gilt also auch P(A) = P(B) ⇒ A = B.