Logarithmus mit unterschiedlichen Basis vereinfachen

Question

Log₃(5/4)+ Log₉(24/5) - Log₉(5/6)

Problem/Ansatz:

ich muss diese Logarithmus Aufgabe vereinfachen und kann durch die Brüche  leider nicht weiter! Kann jemanden mir bitte weiter helfen??

Answer 1

Aloha :)

$$\log_3\left(\frac{5}{4}\right)+\log_9\left(\frac{24}{5}\right)-\log_9\left(\frac{5}{6}\right)=\log_3\left(\frac{5}{4}\right)+\log_9\left(\frac{24}{5}:\frac{5}{6}\right)$$$$=\log_3\left(\frac{5}{4}\right)+\log_9\left(\frac{24}{5}\cdot\frac{6}{5}\right)=\log_3\left(\frac{5}{4}\right)+\log_9\left(\frac{144}{25}\right)$$$$=\log_3\left(\frac{5}{4}\right)+\log_9\left(\left(\frac{12}{5}\right)^2\right)=\log_3\left(\frac{5}{4}\right)+2\log_9\left(\frac{12}{5}\right)$$$$=\frac{\ln\left(\frac{5}{4}\right)}{\ln(3)}+2\frac{\ln\left(\frac{12}{5}\right)}{\ln(9)}=\frac{\ln\left(\frac{5}{4}\right)}{\ln(3)}+2\frac{\ln\left(\frac{12}{5}\right)}{\ln(3^2)}$$$$=\frac{\ln\left(\frac{5}{4}\right)}{\ln(3)}+2\frac{\ln\left(\frac{12}{5}\right)}{2\ln(3)}=\frac{\ln\left(\frac{5}{4}\right)}{\ln(3)}+\frac{\ln\left(\frac{12}{5}\right)}{\ln(3)}$$$$=\log_3\left(\frac{5}{4}\right)+\log_3\left(\frac{12}{5}\right)=\log_3\left(\frac{5}{4}\cdot\frac{12}{5}\right)=\log_3(3)=1$$

Comments

Wegen $$ \log_{9}\left(\dfrac{144}{25}\right) = \log_{3}\left(\dfrac{12}{5}\right) $$ nach der Basiswechselformel kannst du die letzte Summe aus der zweiten Zeile zusammenfassen und bist sofort bei \(\log_3(3)=1\).

Answer 2

Verwende \(log_3x =2log_9x\) sowie  \(log_c\frac{a}{b} =log_ca -log_cb \)

Answer 3

log_3(x) = log_9(x)/log_9(3) = log_9(x)/(1/2) = 2*log_9(x)

Answer 4

Die Rechnung in Einzelschritten, unter Verwendung jeweils einer Logarithmusregel könnte etwa so aussehen: $$ \log_{3}\left(\dfrac{5}{4}\right) + \log_{9}\left(\dfrac{24}{5}\right) - \log_{9}\left(\dfrac{5}{6}\right) \\ = \log_{3}\left(\dfrac{5}{4}\right) + \log_{9}\left(\dfrac{24}{5}\cdot\dfrac{6}{5}\right) \\ = \log_{3}\left(\dfrac{5}{4}\right) + \log_{9}\left(\dfrac{144}{25}\right) \\ = \log_{3}\left(\dfrac{5}{4}\right) + \dfrac{\log_{3}\left(\dfrac{144}{25}\right)}{\log_{3}\left(9\right)} \\ = \log_{3}\left(\dfrac{5}{4}\right) + \dfrac{\log_{3}\left(\dfrac{144}{25}\right)}{2} \\ = \log_{3}\left(\dfrac{5}{4}\right) + \log_{3}\left(\sqrt{\dfrac{144}{25}}\right) \\ = \log_{3}\left(\dfrac{5}{4}\right) + \log_{3}\left(\dfrac{12}{5}\right) \\ = \log_{3}\left(\dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{12}{5}\right) \\ = \log_{3}\left(3\right) \\ = 1.$$ Sicher können einige Schritte auch zusammengefasst werden.

Comments

ich muss diese Logarithmus Aufgabe vereinfachen und kann durch die Brüche  leider nicht weiter!

Die Brüche stellen eigentlich kein Problem dar, eher die verschiedenen Basen. Wir werden also geneigt sein, auf eine allen Logarithmen gemeinsame Basis zu wechseln. Am wenigsten Arbeit macht dabei – wie andernorts bereits vorgeschlagen – der Basiswechsel beim ersten Summanden.

Es ist Log₃(5/4) = Log₉(25/16) (warum?) und damit wird die Rechnung

Log₃(5/4) + Log₉(24/5) - Log₉(5/6)
= Log₉(25/16) + Log₉(24/5) - Log₉(5/6)
= Log₉ ( (25/16)*(24/5)*(6/5) )
= Log₉ ( 9 )
= 1

zu einer Kopfrechenaufgabe.