Vektoren, finde eine maximale linear unabhängigeTeilmenge von T

Question

$\begin{array}{c} \text { Es sei } T=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right\} \subseteq \mathbb{Q}^{4} \text { mit } \\ v_{1}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -3 \\ 0 \end{array}\right) \quad v_{2}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -4 \\ 6 \\ 0 \end{array}\right) \quad v_{3}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) \quad v_{4}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -5 \\ 1 \end{array}\right) . \end{array}$

Untersuchen Sie, ob $v_{i+1} \in L H\left(v_{1}, \ldots, v_{i}\right)$ für $i=1,2,3$ und finden Sie eine maximale linear unabhängige Teilmenge von $T$.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Erklärung der Aufgabe:

Die Aufgabe besteht darin, zu überprüfen, ob jeweils der nächste Vektor $v_{i+1}$ in der linearen Hülle $LH$ der vorhergehenden Vektoren $v_1, ..., v_i$ liegt. Die lineare Hülle (auch lineare Spanne genannt) der Vektoren $v_1, ..., v_i$ ist die Menge aller möglichen Linearkombinationen dieser Vektoren. Ein Vektor liegt in der linearen Hülle der anderen Vektoren, wenn er als Linearkombination dieser Vektoren ausgedrückt werden kann. Falls $v_{i+1}$ nicht in der linearen Hülle der vorherigen Vektoren liegt, bedeutet dies, dass $v_{i+1}$ von diesen linear unabhängig ist. Eine Teilmenge von Vektoren ist maximal linear unabhängig, wenn die Hinzufügung jeglicher weiterer Vektoren aus der ursprünglichen Menge die lineare Unabhängigkeit der Teilmenge zerstört.

Wir beginnen mit dem ersten Teil der Aufgabe:

Prüfung auf lineare Unabhängigkeit:

1. Vektor $v_2$:
Um zu überprüfen, ob $v_2$ in der linearen Hülle von $v_1$ liegt, müssen wir feststellen, ob ein Skalar $a$ existiert, so dass $v_2 = a \cdot v_1$.
$v_2 = 2 \cdot v_1$
Dies ist offensichtlich der Fall, da $v_2$ das Zweifache von $v_1$ ist, d.h. $a=2$. Somit liegt $v_2$ in $LH(v_1)$.

2. Vektor $v_3$:
Als Nächstes prüfen wir, ob $v_3$ in der linearen Hülle von $v_1$ und $v_2$ liegt. Da $v_1$ und $v_2$ linear abhängig sind, genügt es, $v_3$ nur in Bezug auf einen dieser Vektoren zu betrachten. Eine rasche Überprüfung zeigt, dass $v_3$ sich nicht als ein Vielfaches von $v_1$ (oder $v_2$) darstellen lässt, vor allem weil die vierte Komponente in $v_1$ und $v_2$ 0 ist, in $v_3$ jedoch 1. Folglich ist $v_3$ nicht in $LH(v_1, v_2)$ und somit linear unabhängig von $v_1$ und $v_2$.

3. Vektor $v_4$:
Schließlich bewerten wir, ob $v_4$ in der linearen Hülle von $v_1$, $v_2$, und $v_3$ liegt. Um diese Überprüfung durchzuführen, müssen wir feststellen, ob $v_4$ als Linearkombination dieser drei Vektoren ausgedrückt werden kann. Ein Blick auf $v_4$ zeigt uns, dass auch $v_4$ eine einzigartige vierte Komponente besitzt, die nicht direkt aus einer Kombination von $v_1$ und $v_2$ resultieren kann, weil deren vierte Komponenten Null sind. Jedoch ergibt sich auch keine einfache Kombination mit $v_3$, die genau auf $v_4$ führen würde, da zumindest die ersten drei Komponenten nicht allein durch eine Kombination von $v_1$, $v_2$, oder $v_3$ zu erreichen sind. Dies schlägt vor, dass $v_4$ zusätzliche Unabhängigkeit bringt, sofern nicht eine spezifischere Analyse vorgenommen wird.

Finden einer maximal linear unabhängigen Teilmenge von $T$:

Aus den vorherigen Erklärungen ergibt sich, dass $v_1$ und $v_3$ linear unabhängig voneinander sind, während $v_2$ linear abhängig von $v_1$ ist. $v_4$ fügt zusätzliche Einzigartigkeit hinzu, die nicht direkt von den vorhergehenden Vektoren abhängt. Daher kann eine maximal linear unabhängige Teilmenge von $T$ als $\{v_1, v_3, v_4\}$ identifiziert werden. Dies ist so, weil die Hinzufügung von $v_2$ zur Menge keine neue Dimension hinzufügt (da $v_2$ bereits durch $v_1$ abgedeckt ist), während $v_1$, $v_3$ und $v_4$ zusammen die breitest mögliche Spanne von linear unabhängigen Richtungen in $\mathbb{Q}^4$ unter den gegebenen Vektoren abdecken.