Wir können folgendes als gegeben ansehen:
(1) Es sei \(a\in \mathbb{R}\cup \{-\infty\}\) und \(h:(a,\infty) \to \mathbb{R}\) stetig und differenzierbar. Fener exisitiere \(\lim\limits_{x\to\infty}h'(x)=:c\in [-\infty, \infty]\) . Zeigen Sie \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{h(x)}{x}=c\).
Aufgabe:
Es seien \(-\infty \leq a <b\leq \infty\) und \(I=(a,b)\). Seien weiter \(c\in [a,b]\) und \(f,g\in C(I)\), derat, dass \(f,g\) differenzierbar sind in \(I\backslash \{c\}\). Ferner sei \(g'(x)\neq 0\) für \(x\in I\backslash \{c\}\) und es exisitere \(\lim\limits_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}\in [-\infty,\infty]\).
Zeigen Sie: Ist \(\lim\limits_{x\to c}|g(x)|=\infty\), so gilt \(\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)
Als Hinweis ist gegeben:
Beachte, dass \(g\) invertierbar sein muss (Warum?, Was wissen Sie über \(\left(g^{-1}\right)'\)?) Führen sie die Aussage auf die aus Nr. 1 zurück durch Betrachtung einer geeigneten Verkettung von \(f\) und \(g^{-1}\).
Fragen:
Ich habe leider bisher keine geeingete Verkettung finden können, bzw. weiß nicht genau, was damit gemeint ist. Über die Ableitung der Umkehrfunktion weiß ich bescheid, weiß aber nicht genau, was ich damit anfangen soll. Ich kann doch nur:$$(g^{-1})'(x)=\frac{1}{g'(g^{-1}(x))} \Leftrightarrow g'(g^{-1}(x))=\frac{1}{(g^{-1})'(x)}$$ folgern, aber was bringt mir das?
