Vereinigung von Bildmengen einer Funktion und Bildmenge der Vereinigung

Question

Aufgabe:

Sei f : A → B eine Funktion von A nach B. Für eine Teilmenge U von A sei defniert f(U) =df
{f(a) | a ∈ U}.

Problem/Ansatz:

1. Wie kann ich das zeigen , dass für beliebige Teilmengen X und Y von A gilt:
f (X ∪ Y ) = f (X) ∪ f (Y ).
2. Es sei A = B = N. Wie kann ich ein Beispiel finden, in dem f (X ∩ Y ) ≠ f (X) ∩ f (Y ) gilt.

Comments

Das ist im Prinzip https://www.mathelounge.de/224474/mengenlehre-aufgabe1-f-aub-f-a-u-f-b-zeigen . Bei den "ähnlichen Fragen" findest du allenfalls Antworten auf weitere Teilaufgaben.

Answer 1

1)

f(X∪Y) = { f(a)| a∈X oder a∈Y } = { f(a) | a∈X } ∪ { f(a) | a∈Y } = f(X) ∪ f(Y)

2)  

Wähle z.B.  f: ℕ → ℕ  mit  f(x) = 5 für alle x∈ℕ   (konstante Funktion)

          und die Mengen X = {1 ,2}  und  Y = {3, 4}

Dann gilt.  X∩Y = { }   →  f( X∩Y)  = { }

                                              ≠

                                         f(X) ∩ f(Y)  =  {5} ∩ {5} = {5}

Gruß Wolfgang

Comments

Wolfgang könnten sie nochmal genauer sage wieso bei der 2 Aufgabe, f(X) ∩ f(Y)  =  {5} ∩ {5} = {5} hier 5 raus kommt aber davor die Leere menge?

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Die Funktion f nimmt für alle x∈ℕ  den Wert f(x) = 5 an.

→  f(1)=f(2)=f(3)=f(4) = 5

f(X) = f({1,2}) = {5}   ,  f({Y) = f({3,4}) = {5}

→   f(X) ∩ f(Y)  =  {5} ∩ {5} 

       Beide Mengen haben nur das Element 5 gemeinsam

       →  {5} ∩ {5} = {5}

 X∩Y ist die leere Menge, weil X und Y keine gemeinsamen Elemente haben. Dann ist auch die zugehörige Menge f( X∩Y) der Funktionswerte die leere Menge.