Hallo kann mir bitte jemand hier den Grenzwert berechnen. Ich habe nämlich 1 rausbekommen und meine Freundin 0.
Grenzwert berechnen. limes (√(x2+1) - √(x2-1)) mit x gegen unendlich
Wir haben folgendes: limx→∞(x2+1−x2−1)=limx→∞(x2+1−x2−1)⋅(x2+1+x2−1)x2+1+x2−1=limx→∞(x2+1)−(x2−1)x2+1+x2−1=limx→∞x2+1−x2+1x2+1+x2−1=limx→∞2x2+1+x2−1=limx→∞2x2⋅(1+1x2)+x2(1−1x2)=limx→∞2∣x∣1+1x2+∣x∣1−1x2=limx→∞2∣x∣⋅(1+1x2+1−1x2)=limx→∞2∣x∣⋅limx→∞1(1+1x2+1−1x2)=0⋅11+1=0\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\right) \\ =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\right)\cdot \left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}\right)}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}} \\ =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{ \left(x^2+1\right)-\left(x^2-1\right)}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}} \\ =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{ x^2+1-x^2+1}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}} \\ =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}} \\ =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2}{\sqrt{x^2\cdot \left(1+\frac{1}{x^2}\right)}+\sqrt{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}} \\ =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+|x|\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} \\ =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2}{|x|\cdot \left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\right)} \\ =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2}{|x|}\cdot \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\right)} \\ =0\cdot \frac{1}{1+1} \\ =0x→∞lim(x2+1−x2−1)=x→∞limx2+1+x2−1(x2+1−x2−1)⋅(x2+1+x2−1)=x→∞limx2+1+x2−1(x2+1)−(x2−1)=x→∞limx2+1+x2−1x2+1−x2+1=x→∞limx2+1+x2−12=x→∞limx2⋅(1+x21)+x2(1−x21)2=x→∞lim∣x∣1+x21+∣x∣1−x212=x→∞lim∣x∣⋅(1+x21+1−x21)2=x→∞lim∣x∣2⋅x→∞lim(1+x21+1−x21)1=0⋅1+11=0
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos
