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Aufgabe:

Es seif: (0,∞)→ℝ stetig mit limx→0f(x) =L und es existiere das uneigentliche Integral rf(x)xdx \int_{r}^{\infty} \frac {f(x)}{x} dx für jedes r >0. Weiter seien a, b>0.

Zeigen Sie für 0<r<s

rsf(ax)f(bx)xdx=arasf(t)tdtbrbsf(t)tdt \int_{r}^{s} \frac {f(ax)-f(bx)} {x} dx = \int_{ar}^{as} \frac {f(t)} {t} dt - \int_{br}^{bs} \frac {f(t)} {t} dt


Problem/Ansatz:

Ich habe das linke Integral in die Form

rsf(ax)xdxrsf(bx)xdx \int_{r}^{s} \frac {f(ax)} {x} dx - \int_{r}^{s} \frac {f(bx)} {x} dx überführt, allerdings verstehe ich nicht, wie ich hier weiter machen muss.
Ich vermute, dass es etwas mit der Stammfunktion zu tun hat, da ich allerdings diese nicht bestimmen kann, ist das warscheinlich der Trick, den ich benötige.

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Das ist eine ganz normale Substitution. Setze z.B. t=ax t = ax dann folgt dt=adx dt = a dx und nicht vergessen die Integrationsgrenzen zu transformieren. Wenn a=r a = r gilt, folgt t=ar t = ar und das Gleiche mit der oberen Grenze. Insgesamt folgt dann rsf(ax)xdx=arasf(t)ta1adt=arasf(t)tdt \int_r^s \frac{ f(ax) } { x } dx = \int_{ar}^{as} \frac{ f(t) } { \frac{t}{a} } \frac{1}{a} dt = \int_{ar}^{as} \frac{ f(t) } { t } dt

Der Rest geht genauso.

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