Ort und Art der Unstetigkeit ermitteln

Question

Aufgabe:

f(x) = ln($\frac{x-1}{x-2}$)

Ort und Art der Unstetigkeit angeben!

Problem/Ansatz:

Definitionsmenge ist ja alles außer 1 und 2. Ich weiß, dass man jetzt den Grenzwert gegen 1⁺ , 1^- , 2⁺ , 2^- ermitteln muss.

diese + und - lassen mich aber verzweifeln, weil ch teilweise nicht weiß was ich jetzt hinschreiben soll.

Es wäre sehr lieb, wenn mir jemand helfen könnte.

Answer 1

Definitionsmenge ist ja alles außer 1 und 2.

Da lässt du aber Wesentliches außer acht. Alle x, für die der Term (x-1)/(x-2) negativ ist, gehören ebenfalls nicht zum Definitionsbereich.

Answer 2

 f ( x ) = ln (( x-1 )/(x-2))
Es gilt ln ( Wert ) : Wert > 0
( x-1 )/(x-2) > 0

1.)
Zähler > 0 und  Nenner > 0 ( plus durch plus )
x-1 > 0
x > 1
x- 2 > 0
x > 2
Zusammen
x > 2

2.)
Zähler < 0 und  Nenner < 0 ( minus < minus )
x-1 < 0
x < 1
x- 2 < 0
x < 2
Zusammen
x < 1

Def Bereich
( x < 1 ) und ( x > 2 )

Die Funktion ist zwischen
] -∞ .. 1 [
und
] 2 .. ∞ [
stetig

Comments

Das beantwortet die Frage nicht.

Answer 3

Die Lösungsmengen gehen aus den anderen Beiträgen hervor.

Du musst jetzt den Grenzwert für x-->2 von der positiven Seite her bilden. Also setzt du in den Funktionsterm x=2+ε ein und betrachtest ε-->0. (Dass ε>0 ist, muss ich wohl nicht extra erwähnen.)

Den Limes lasse ich im Folgenden weg, den darfst du selbst ergänzen.

$\ln(\frac{x-1}{x-2}) =\ln(\frac{2+ε-1}{2+ε-2}) = \ln(\frac{1+ε}{ε}) = \ln(\frac{1}{ε}+1)$

Da  $\frac{1}{ε}$ gegen +∞ strebt, ist der Limes des Logarithmus ebenfalls +∞.

Nun musst du noch den Grenzwert für x-->1 von der negativen Seite her bilden. Also setzt du in den Funktionsterm x=1-ε ein und betrachtest ε-->0.

$\ln(\frac{x-1}{x-2}) =\ln(\frac{1-ε-1}{1-ε-2}) = \ln(\frac{-ε}{-ε-1}) = \ln(\frac{ε}{ε+1})$

Der Zähler strebt gegen 0, der Nenner gegen 1. Das Argument des Logarithmus strebt also von der positiven Seite gegen 0.

Der Logarithmus strebt dann gegen -∞.

Die Ergebnisse stimmen mit dem Graphen, den Georg gepostet hat, überein.

Comments

Somit handelt es sich bei 1 und 2 jeweils um Polstellen.