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Hallo:)

 

ich habe folgende Funktion gegeben und soll berechnen in welchen Punkten die Funktion unstetig ist und welche Art vorliegt.

ich komm absolut nicht weiter.

vielen dank schon mal für eure hilfe:)

Gefragt von
Welche Arten unterscheidet ihr genau?

Hebbare Unstetigkeitsstelle, Sprungstelle, Pol und was noch?
wir unterscheiden genau die 3:)

1 Antwort

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Beste Antwort

Der Graph der Funktion gibt Aufschluss zu ein paar Eigenschaften der Funktion.
Er hat bei x= -2 einen Pol, bei x=-1 einen Knick (das ist keine Unstetigkeitsstelle (erst die Ableitung wäre an der Stelle x=-1 unstetig)) und bei x=2 eine Sprungstelle.
 

Nun sollst du das aber berechnen, nicht nur zeichnen.

Als Erstes kannst du den Nenner 4 -x^2 betrachten.
In dessen Nullstellen ist der Wert der Funktion nicht definiert.
4 - x^2 = (2+x)(2-x) = 0
Kandidaten für eine Unstetigkeitsstelle sind x = - 2 und x = 2.

Nun faktorisiere ich noch den Zähler: |x^2 -x -2| = |(x-2)(x+1)| 
Man sieht, dass sich beim Bruch (x-2) rauskürzen liesse, während (x+2) auf jeden Fall im Nenner bleibt.

Daher:
Fall x = - 2. Die Funktion hat einen Pol in x = -2.

Fall x=2 genauer untersuchen:

Fall x > 2 (beliebig nahe bei 2): x-2 > 0 und x+1 > 0. Man kann die Betragstriche im Zähler einfach weglassen.

f(x) = |(x-2)(x+1)| / ((x-2) (x+2))  

= ((x-2)(x+1))/((x-2)(x+2))                 kürzen

= (x+1)/(x+2)                   Definitionslücke ist weg. Man kann Werte beliebig nahe rechts von 2 einsetzen.

und kommt im Grenzfall auf +3/4

 

Fall -1< x < 2 (beliebig nahe bei 2): x-2 > 0 und x+1 > 0. Man kann die Betragstriche im Zähler weglassen, wenn man ein (x-2) durch -(x-2) ersetzt.

f(x) = |(x-2)(x+1)| / ((x-2) (x+2))  

= (-(x-2)(x+1))/((x-2)(x+2))                 kürzen

= -(x+1)/(x+2)                   Definitionslücke ist weg. Man kann Werte beliebig nahe rechts von 2 einsetzen.

und kommt im Grenzfall auf -3/4

Fazit: An der Stelle x=2 springt die Funktion von -3/4 nach 3/4. Man hat dort eine Sprungstelle.

 

 

 

Beantwortet von 142 k
vielen vielen dank für die antwort. ich war am verzweifeln.

TOP!!!! vielen dank nochmal! viele grüße

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