Beweise für a,b ∈ ℝ mit a > 0 und b > 0 und n ∈ ℕ
an * b ≤ ( na+bn+1 \frac{na+b}{n+1} n+1na+b )^{n+1}
n+1 ist der Exponent für den ganzen Bruch.
Was denkst du denn? Eigene Ansätze werden sehr gerne gesehen.
Aloha :)
Die Aussage folgt sofort aus der AGM-Ungleichung (das geometrische Mittel ist immer kleiner gleich dem arithmetischen Mittel):
an⋅bn+1≤n⋅a+bn+1 ⇔ anb≤(n⋅a+bn+1)n+1\sqrt[n+1]{a^n\cdot b}\le\frac{n\cdot a+b}{n+1}\;\;\Leftrightarrow\;\;a^nb\le\left(\frac{n\cdot a+b}{n+1}\right)^{n+1}n+1an⋅b≤n+1n⋅a+b⇔anb≤(n+1n⋅a+b)n+1
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