Division komplexer Zahlen: Polardarstellung

Question

Aufgabe:

Sei z3=z1/z2 (mit z2≠0) ein Quotient komplexer Zahlen mit den entsprechenden Polardarstellungen,

zJ= ρJ*(cosθJ+i*sinθJ), wobei ρJ≡|zJ| und J=1,2,3. Zeigen sie, dass in diesem Fall die Beträge ebenfalls dividiert werden, ρ3=ρ1/ρ2 , während die Argumente subtrahiert werden (modulo 2π), θ3=(θ1-θ2)mod(2π).

Als Hinweis darf ich die trigonometrischen Identitäten benutzen.

Problem/Ansatz:

Nun verstehe ich das nicht mit dem mod(2π). Wie zeige ich das richtig? Ich weiß, dass beim multiplizieren die Argumente addiert und beim dividieren das Argument des Nenners von dem Zähler abgezogen wird.

Kann ich das nicht so machen: z1/z2=r1/r2 (cosθ1+isinθ1)/(cosθ2+isinθ2)=

=r1/r2 (cosθ1+isinθ1)(cosθ2-isinθ2)/(cosθ2+isinθ2)(cosθ2-isinθ2) und so weiter.

Bin jedem dankbar.

Answer 1

z1= ρ1*(cosθ1+i*sinθ1) und z2= ρ2*(cosθ2+i*sinθ2)

Das, was du über das Subtrahieren der Winkel schon weißt, sollst du ja hier

beweisen. Könnte so beginnen

z1 / z2 = (  ρ1*(cosθ1+i*sinθ1) )  /  (  ρ2*(cosθ2+i*sinθ2) )

            = (  ρ1/p2 ) * (cosθ1+i*sinθ1)  /  (cosθ2+i*sinθ2)

Den 2. Bruch mit   (cosθ2-i*sinθ2) erweitern gibt

               = (  ρ1/p2 ) *

        ( (cosθ1+i*sinθ1) *  (cosθ2-i*sinθ2) )  / ( (cosθ2+i*sinθ2) * (cosθ2-i*sinθ2))

= (  ρ1/p2 ) *( (cosθ1+i*sinθ1) *  (cosθ2-i*sinθ2) )  / ( (cos^2(θ2)-i^2*sin^2(θ2))

= (  ρ1/p2 ) *( (cosθ1+i*sinθ1) *  (cosθ2-i*sinθ2) )  / ( (cos^2(θ2)+sin^2(θ2))

= (  ρ1/p2 ) *( (cosθ1+i*sinθ1) *  (cosθ2-i*sinθ2) )  / 1

= (  ρ1/p2 ) *( (cosθ1+i*sinθ1) *  (cosθ2-i*sinθ2) )

= (  ρ1/p2 ) *( (cosθ1*cosθ2+i*sinθ1*cosθ2-cosθ1*i*sinθ2-i^2*sinθ1*sinθ2 )

= (  ρ1/p2 ) *( (cosθ1*cosθ2+i*sinθ1*cosθ2-cosθ1*i*sinθ2+sinθ1*sinθ2 )

= (  ρ1/p2 ) *( (cosθ1*cosθ2+sinθ1*sinθ2 +i*(sinθ1*cosθ2-cosθ1*sinθ2) )

Additionstheoreme für sin und cos  ergeben:

= (  ρ1/p2 ) *( (cos(θ1-θ2) +i*(sinθ1-θ2) )

Das ist also die Polardarstellung des Quotienten und das "Modulo 2pi"

bedeutet ja nur: Für die eindeutige Polardarstellung benutzt man immer

als Argument den Winkel aus [0;2pi[ .  Wenn also etwa θ1-θ2 den Wert -pi/2

ergäbe, würde man  3pi/2 benutzen.

Answer 2

Aloha :)

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{\rho_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)}{\rho_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)}$$$$=\frac{\rho_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)(\cos\varphi_2-i\sin\varphi_2)}{\rho_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)(\cos\varphi_2-i\sin\varphi_2)}$$$$=\frac{\rho_1(\cos\varphi_1\cos\varphi_2-i\cos\varphi_1\sin\varphi_2+i\sin\varphi_1\cos\varphi_2-i^2\sin\varphi_1\sin\varphi_2)}{\cos^2\varphi_1-i^2\sin^2\varphi_2}$$$$=\frac{\rho_1}{\rho_2}\left[(\cos\varphi_1\cos\varphi_2+\sin\varphi_1\sin\varphi_2)+i(\sin\varphi_1\cos\varphi_2-\cos\varphi_1\sin\varphi_2)\right]$$$$=\frac{\rho_1}{\rho_2}\left[\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)\right]$$