Modellierung mit dem Linearen Gleichungssystem

Question

Aufgabe:

Bei einem Verkehrsnetz aus Einbahnstraßen sind die Verkehrsdichten (Fahrzeuge pro h) für die zu- und abfließenden Verkehrsströme bekannt.

(1) Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem auf, mit dem die Verkehrsdichten \( x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\), \(x_{4}\) berechnet werden können.
(2) Straßenabschnitt AD soll gesperrt werden. Untersuchen Sie, ob dies ohne eine Drosselung des Zuflusses möglich ist.

Problem/Ansatz:

Leider habe ich gar keine Ahnung wie ich mithilfe dieses Bildes ein LGS aufstellen soll...

Answer 1

Hallo Sora,

Leider habe ich gar keine Ahnung wie ich mithilfe dieses Bildes ein LGS aufstellen soll..

Schaue auf die Knoten bzw. Kreuzungen. Da auf einer (Verkehrs-)Kreuzung weder Autos aus dem Nichts auftauchen noch in einem schwarzem Loch verschwinden, muss die Menge an Autos, die rein fahren auch wieder raus fahren. In die Kreuzung \(A\) fahren von links und von unten in Summe \(200+400=600\) Fahrzeuge ein. Und über den Weg nch rechts und nach oben fahren \(x_1+x_4\) Fahrzeuge wieder raus. Also ist:$$x_1 + x_4 = 600$$Das gleiche machst Du für die anderen drei Kreuzungen. Du erhältst dann ein LGS mit vier Unbekannten, was aber nicht eindeutig lösbar ist.

das kann man sich so erklären, das die Information, wie viele Autos einfach nur im Kreis fahren und das Straßenquadrat weder einfahren noch verlassen, unbekannt ist. Sie würden aber bei den Verkehrsströmen \(x_i\) mit einfließen!

Das (mit dem Gaußverfahren) reduzierte LGS sieht dann so aus: $$\begin{array}{rrrr|r}1& 0& 0& 1& 600\\ 0& 1& 0& -1& -100\\ 0& 0& 1& 1& 300\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}$$Eine Sperrung der Straße \(AD\) bedeutet, dass \(x_4=0\) wird. Dann ist das LGS eindeutig lösbar.

D.h. eine Sperrung ist möglich ohne die Zufuhr zu drosseln.

Falls noch etwas unklar ist, so melde Dich bitte.

Edit: Antwort korrigiert. alle Werte in der Aufgabe sind positiv

Comments

Minuszeichen ist Teil des Pfeiles.

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Minuszeichen ist Teil des Pfeiles.

was macht Dich da so sicher?

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Das stimmt. Die Minuszeichen sind Teil des Pfeils. Tut mir leid, das hätte ich besser aufzeichnen sollen.

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Hallo Sora,

ich habe meine Antwort korrigiert. Hast Du sonst noch Fragen dazu?

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Wenn bei Kreuzung A insgesamt 600 Fahrzeuge einfahren (x1 + x4 = 600), wie sieht es denn dann bei Kreuzung B aus, da dort nur ausfahrende Fahrzeuge angezeigt werden?...

Ich verstehe es nicht so recht, tut mir leid.

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wie sieht es denn dann bei Kreuzung B aus, da dort nur ausfahrende Fahrzeuge angezeigt werden?

Na ja - das, was in die Kreuzung rein fährt, muss auch wieder raus. Wie gesagt, es wird angenommen, dass auf einer Kreuzung weder Autos aus dem Nichts auftauchen, noch in schwarzen Löchern verschwinden ;-)

Schreibe ein Gleichheitszeichen hin und links vom Gleichheitszeichen was raus geht und rechts was rein geht (oder auch umgekehrt). Bei Kreuzung \(B\) fahren \(200+300=500\) Fahrzeuge raus und \(x_1 + x_2\) rein - formal also:$$500 = x_1  +x_2$$Bei Kreuzung \(C\)  fahren \(x_2+x_3\) Fahrzeuge raus und \(100+100=200\) rein - also: $$\text{raus} = \text {rein}$$ ... kommst Du alleine klar?