Oberflächenintegral mit Wolfram-Apha

Question

kann mit mit Wolfam-Alpha Oberflächen integrale lösen?

Zum Beispiel so eine Aufgabe?

Liebe Grüße

Berechnen Sie den Fluss von

$\quad F(x, y, z)=\left(\begin{array}{c}{x^{3}+y^{2} z} \\ {x^{2} y+x z^{2}} \\ {x^{2} y+x^{2} z}\end{array}\right)$

durch die Oberfläche von
$$H=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} | x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 9, z \geq 0\right\}$$
Hinweis: $4 \sin ^{3}(t)=3 \sin (t)-\sin (3 t)$

Comments

"Surface Integral wolfram" suchen...

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Weißt du denn, was H ist und wie du H ggf. parametrisieren möchtest?

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nein leider nicht...

können Sie mir edas bitte erklären?

Answer 1

das Integral musst du selber erstmal aufstellen. Danach kannst du es bei Wolfram alpha eingeben und dort ausrechnen ;).

Comments

könnt ihr mir das bitte einmal vorzeigen..?

Liebe Grüße

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H beschreibt hier die obere Halbkugel um den Ursprung mit Radius 3.

Daher bieten sich Kugelkoordinaten an.

Für die Skizze und Variablenbelegung siehe Bild unter:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten

$$x=rcos(\varphi)sin(\vartheta)\\ y=rsin(\varphi)sin(\vartheta)\\ z=rcos(\vartheta)$$

Da z>=0 gilt ist

$$0 <=\vartheta<=\pi/2\\ 0 <=\varphi<=2\pi\\ 0<=r<=3$$

Die Berechnung des Flussintegrals bietet sich der Satz von Gauss an (falls ihr den schon hattet).

$$\int_{\partial H} FdA=\int_{H} div (F) dV$$

Es ist

$$div F=3x^2+x^2+x^2=5x^2$$

Hier setzt du nun die Transformation vom Anfang ein, also

$$5x^2=5*r^2cos^2(\varphi)sin^2(\vartheta)$$

Das Volumenelement in Kugelkoordinaten lautet

$$dV=r^2sin(\vartheta)drd\varphi d\vartheta$$

Damit ist

$$I=\int_H div(F)dV= \int_{0}^{3}5*r^4dr\int_{0}^{2\pi}cos^2(\varphi)d\varphi\int_{0}^{\pi/2}sin^3(\vartheta)d\vartheta$$