Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Systems

Question

Aufgabe:

\( \begin{pmatrix} -1 & -4 & 0 | 1\\ 1 & 4 & 2 |1 \\ 2 & 8 & 1 |1 \end{pmatrix} \)

Dies ist die erweiterte Koeefizientenmatrix, für die:

a) die Lösungsmenge L_h des zugehörigen homogenen Systems berechnet werden soll

b) gezeigt werden soll, dass Vektor y = (-1, 0, 1) eine partikuläre Lösung des inhomogenen Systems ist und die Lösungsmenge L des inhomogenen Systems soll angegeben werden soll.

Lässt sich L auch in der Form (0, -1/4, 0) + L_h schreiben?

Problem/Ansatz:

Das zugehörige LGS:

-x - 4y          = 1

x + 4y + 2z  = 1

2x + 8y + 1z = -1

Die Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform habe ich gebracht:

\( \begin{pmatrix} -1 & -4 & 0 | 1 \\ 0 & 0 & 2 |2 \\ 0 & 0 & 1|1\end{pmatrix} \)

Könnte es aber auch noch...

\( \begin{pmatrix} -1 & -4 & 0 | 1 \\ 0 & 0 & 2 |2 \\ 0 & 0 & 0|0\end{pmatrix} \)

... setzen

Nun frage ich mich wie ich das homogene System lösen soll, da Ax = 0 und ich somit die rechte Seite auf 0 setzen muss. Da ich jedoch in der zweiten Zeile kein y habe, bin ich nun etwas verwirrt, wie ich mithilfe eine Parameters das y herausfinden soll.

Bei b habe ich leider gar keine Ahnung :(

Comments

Sicher, dass du korrekt umgeformt hast?

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Habe nochmal nachgerechnet und denke schon. Wüsste nicht wie ich anders umformen sollte.

Answer 1

Erste Gleichung nach x auflösen ergibt

        x = -1 - 4y

Zweite Gleichung nach z auflösen ergibt

        z = 1.

Also ist \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1-4y\\y\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix}+y\cdot \begin{pmatrix} -4\\1\\0 \end{pmatrix} \)

Comments

Aus der Zeilenstufenform erhalte ich

(I) -x - 4y = 1

(II) 2z = 2

... wenn ich nun zb die erste Zeile nullsetze: - x - 4y = 0 
erhalte ich beim nach x umformen aber nicht x= -1 - 4y, sondern x = -4y ...

Ich bin verwirrt