Aloha :)
Für \(f(t)=e^{-2t^2}\) soll die Fourier-Transformierte \(F(\omega)\) bestimmt werden.$$F(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-2t^2}e^{-i\omega t}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-(2t^2+i\omega t)}\,dt$$Zur einfacheren Integration stellen wir den Exponenten etwas um:$$2t^2+i\omega t=2\left(t^2+\frac{i\omega}{2}t\right)=2\left(t^2+\frac{i\omega t}{2}+\left(\frac{i\omega}{4}\right)^2-\left(\frac{i\omega}{4}\right)^2\right)$$$$\phantom{2t^2+i\omega t}=2\left(\left(t+\frac{i\omega}{4}\right)^2-\frac{i^2\omega^2}{16}\right)=2\left(t+\frac{i\omega}{4}\right)^2+\frac{\omega^2}{8}$$Damit gehen wir wieder zur Integration:
$$F(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-\left[2\left(t+\frac{i\omega}{4}\right)^2+\frac{\omega^2}{8}\right]}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\omega^2}{8}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-2\left(t+\frac{i\omega}{4}\right)^2}\,dt$$$$\phantom{F(\omega)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{\omega^2}{8}}\cdot\sqrt{\frac{\pi}{2}}$$wobei ich das uneignetlichen Integral \(\int_{-\infty}^\infty e^{-2u^2}du=\sqrt{\pi/2}\) nachgeschlagen habe. Zusammengefasst ist:$$F(\omega)=\frac{1}{2}\,e^{-\frac{\omega^2}{8}}$$
