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In der Mathematik berechnet man oftmals die Länge von einem Weg einer Strecke etc. Es gibt allerdings ja kein wirkliches Mindestmaß, da man ja alles unendlich oft teilen kann. Was bedeutet in diesem Sinn Länge in der Mathematik?
Und kann man den Längenbegriff überhaupt für Kurven und gerade Wege in Einklang bringen?

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In einem Koordinatensystem kann man den Abstand eines Punkte zum Ursprung mit dem Satz des Pythagoras festlegen. Der Punkt P(6|8) hat zum Ursprung den Abstand √(6² + 8²).

Sind zwei Punkte, zum Beispiel P(3|2) und Q(9|10) gegeben, dann verschiebt beide so, dass einer der Punkte zum Urpsrung wird. Dann hat man zum Beispiel P'(0|0) und Q'(9-3|10-2).

Den Abstand zwischen P' und Q' kann man dann wie oben berechnen und als Abstand der Punkte P und Q auffassen. Dieser Abstand ist dann die Länge der Strecke PQ.

Eine Kurve kann man beschreiben mit Hilfe einer Funktion mit Definitionsbereich [0, 1] und Punkten als Wertebereich. Zum Beispiel

        f(x) = (2x-1 | (2x-1)²).

Die Kurve ist in diesem Fall ein Teil der Normalparabel.

        f(0) = (2·0-1 | (2·0-1)²) = (-1 | 1) liegt auf der Norrmalparabel

        f(0,1) = (2·0,1-1 | (2·0,1-1)²) = (-0,8 | 0,64) liegt auf der Norrmalparabel

        f(0,5) = (2·0,5-1 | (2·0,5-1)²) = (0 | 0) liegt auf der Norrmalparabel

        f(0,75) = (2·0,75-1 | (2·0,75-1)²) = (0,5 | 0,25) liegt auf der Norrmalparabel

und so weiter.

Für die Länge dieser Kruve unterteilt man zunächst den Bereich [0, 1] in einzelne Teilbereiche. Dann rechnet man für jeden Teilbereich Anfangs- und Endpunkt aus. Daraus kann man dann den Abstand von Anfangs- und Endpunkt jedes Teilbereiches berechnen. Anschließend summiert man alle Abstände. Das ist dann eine Näherung für die Länge der Kurve.

Um die tatsächliche Länge der Kurve zu bestimmen, untersucht man, was mit den Näherungen passiert, wenn man den Bereich [0, 1] so unterteilt, dass der größte Teilbereich beliebig klein wird. Wenn sich dann die Näherungen beliebig nah einer Zahl d nähern, dann ist d die Länge der Kurve.

Eine ähnliche Vorgehensweise findet man, wenn man aus dem Umfang eines Kreises den Flächeninhalt bestimmt, wenn man Flächen unter Funktionsgraphen oder Steigungen von Funktionsgraphen  bestimmt.

Avatar von 105 k 🚀
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Es gibt allerdings ja kein wirkliches Mindestmaß

Das braucht man auch nicht. Um eine Größe zu messen (oder eine Größe aus anderen Informationen zu berechne), braucht man eine Einheit. Beim Messen oder Berechnen einer Länge stellt man dann fest, ob die Länge ein Vielfaches bzw. ein Bruchteil dieser Einheit(slänge) ist.

Avatar von 53 k 🚀

Hmm ja aber was ist diese Einheit in der Mathematik? 1 meter kanns ja schlecht sein. Und wenn man diese Einheit definiert hat und sie Gerade ist kann man sie dann auch wirklich für Kurven anwenden?

Die Einheit heißt "eine Längeneinheit" und ist der Abstand der Zahlen 0 und 1 auf der Zahlengeraden (bevor jetzt der Einwand kommt "und wie groß ist dieser Abstand?": Er ist so groß, wie er gewählt wird.)

Wenn man dann wissen will, welchen Abstand die Punkte (1|7) und (5|10) haben: Dieser Abstand (nach Pythagoras) ist fünfmal so groß wie der Abstand von (0|0) und (1|0) und demzufolge 5 Längeneinheiten.


Und: Ja, man kann den Längenbegriff auch auf rektifizierbare Kurven anwenden.

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Hallo

 Längeneinheiten kann man beliebig wählen, in Mathe schreibt man deshalb meist LE ( Längen Einheit) statt cm oder m oder inch usw.

Längen  von Strecken sind dann entsprechende Vielfache der LE. Längen von Kurven werden definiert als Grenzwert der Länge von einbeschriebenen Polygonzügen. Dass es beliebig kleine Längen gibt stört doch die angäbe von Längen nicht, ein Punkt hat keine Länge, 2 verschiedene Punkte haben einen messbaren bzw. berechenbaren Abstand.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

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