a)
\(\begin{aligned} & & 1\cdot a & =a & & \text{wegen Neutralität der }1\\ & \implies & \left(1+0\right)\cdot a & =a & & \text{wegen Neutralität der }0\\ & \implies & 1\cdot a+0\cdot a & =a & & \text{wegen Distributivgesetz}\\ & \implies & a+0\cdot a & =a & & \text{wegen Neutralität der }1\\ & \implies & -a+\left(a+0\cdot a\right) & =-a+a & & \text{durch Addition von }-a\\ & \implies & \left(-a+a\right)+0\cdot a & =-a+a & & \text{wegen Assoziativgesetz}\\ & \implies & 0+0\cdot a & =0 & & \text{weil }-a\text{ Gegenzahl von }a\text{ ist}\\ & \implies & 0\cdot a & =0 & & \text{wegen Neutralität der }0 \end{aligned}\)
b) Sei o.b.d.A. b ≠ 0. Dann gilt a·b = 0 ⇒ a = 0 · b-1 = 0 laut a).
c)
\(\begin{aligned} & & 0\cdot a & =0 & & \text{wegen a)}\\ & \implies & \left(-1+1\right)\cdot a & =0 & & \text{weil -1 Gegenzahl von 1 ist}\\ & \implies & -1\cdot a+1\cdot a & =0 & & \text{wegen Distributivgesetz} \end{aligned}\)
Forme weiter um bis du (−1) · a = −a bekommst.
d) Folgt mittels -(-1) = 1 direkt aus c)
