Aloha :)
Wir suchen die Inverse zu \(x\ast y\) und nennen diese zunächst \(z\). Dann muss gelten:$$(x\ast y)\ast z=e$$wobei \(e\) das neutrale Element des Körpers bezühlich der Operation \(\ast\) sein soll. Wir wenden nun die Gruppenaxiome darauf an, um \(z\) zu bestimmen:
$$\left.(x\ast y)\ast z=e\quad\right|\quad\text{Assoziativ-Gesetz links}$$$$\left.x\ast (y\ast z)=e\quad\right|\quad\text{Multiplikation des Inversen \(x'\) von links}$$$$\left.x'\ast(x\ast (y\ast z))=x'\ast e\quad\right|\quad\text{Assoziativ-Gesetz links}$$$$\left.(x'\ast x)\ast (y\ast z)=x'\ast e\quad\right|\quad x'\ast x=e$$$$\left.e\ast (y\ast z)=x'\ast e\quad\right|\quad e\ast(y\ast z)=y\ast z\;;\;x'\ast e=x'$$$$\left.y\ast z=x'\quad\right|\quad\text{Multiplikation des Inversen \(y'\) von links}$$$$\left.y'\ast(y\ast z)=y'\ast x'\quad\right|\quad\text{Assoziativ-Gesetz links}$$$$\left.(y'\ast y)\ast z=y'\ast x'\quad\right|\quad y'\ast y=e$$$$\left.e\ast z=y'\ast x'\quad\right|\quad e\ast z=z$$$$\left.z=y'\ast x'\quad\right.$$Also gilt: \(\quad\boxed{ (x\ast y)'=y'\ast x'}\)
