Wie hoch muss dieser Geldbetrag mindestens sein?

Question

Jemand zahlt zu Beginn jedes Jahres einen gleich bleibenden Geldbetrag auf ein Sparbuch ein, um nach 6 Jahren eine Reise im Wert von 1500 GE finanzieren zu können. Wie hoch muss dieser Geldbetrag bei einem Zinssatz von 2.75 % mindestens sein?

Ich komme auf das Ergebnis 233,36, die richtige Lösung ist 227,11

Mein Ansatz war die Formel: sn = xo * (qⁿ - 1) / (q - 1)

Answer 1

Jemand zahlt zu Beginn jedes Jahres einen gleich bleibenden Geldbetrag auf ein Sparbuch ein,

Du musst vorschüssig rechnen:

1500= x*1,0275*(1,0275⁶-1)/0,0275

x= ...

https://de.wikipedia.org/wiki/Rentenrechnung#Grundformeln

Answer 2

Aloha :)

Der jährlich gezahlte Betrag sei $B_0$. Die erste Rate wird $n$-mal verzinst, die zweite Rate wird $(n-1)$-mal verzinst, die dritte Rate wird $(n-2)$-mal verzinst... Mit dem Zinssatz $p$ ergibt das  nach $n$ Verzinsungen bzw. Jahren den Betrag:

$$B_n=B_0\cdot\left(1+p\right)^n+B_0\cdot\left(1+p\right)^{n-1}+B_0\cdot\left(1+p\right)^{n-2}+\cdots+B_0\cdot\left(1+p\right)^1$$$$\phantom{B_n}=B_0\sum\limits_{k=1}^n\left(1+p\right)^k=B_0\left(\frac{1-\left(1+p\right)^{n+1}}{1-\left(1+p\right)}-1\right)$$$$\phantom{B_n}=B_0\left(\frac{\left(1+p\right)^{n+1}-1}{p}-1\right)=B_0\left(\frac{\left(1+p\right)^{n+1}-1-p}{p}\right)$$$$\phantom{B_n}=B_0\left(\frac{\left(1+p\right)^{n+1}-(1+p)}{p}\right)=B_0\cdot\frac{1+p}{p}\cdot\left[(1+p)^n-1\right]$$Setzen wir konkret deine Werte $B_n=1500$, $n=6$ und $p=0,0275$ ein:$$1500=B_0\cdot6,6047\quad\Rightarrow\quad B_0=\frac{1500}{6,6047}=227,11$$

Comments

Die Formelherleitung war sicher nicht verlangt.

Die Formel darf man hier als bekannt voraussetzen.

Lenz hat nur die falsche erwischt. :)

---

Sorry, ich kannte die Formel nicht. Daher musste ich sie mir herleiten. Vielleicht hilft es ja beim Verständnis.