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Ich lerne gerade für meine Mathe-Klausur und benötige etwas Hilfe, ich würde mich freuen wenn ihr mir folgende Aufgabe erklären könntet:

Das unten abgebildete Rechteck soll einen maximalen Flächeninhalt bekommen. Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt dieses Rechtecks, wenn die begrenzende Parabel gegeben ist durch

f(x)=-0,5x^2+4.

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Beste Antwort

der Flächeninhalt eines Dreiecks wird berechnet A = a * b

Die Seite a (Strecke AB) ist in diesem Fall 2x (jeweils 1x rechts und links der y-Achse). Die Seite b (Strecke BC) hat die Länge f(x). Also gilt für den Flächeninhalt

$$A=2x\cdot f(x)\\ = 2x\cdot(-0,5x^2+4)\\ =-x^3+8x\\ A'(x)=-3x^2+8$$

Nun setzt du die erste Ableitung = 0, um Extremstellen zu berechnen und verwendest die 2. Ableitung, um Hoch- und/oder Tiefpunkte zu bestimmen (wobei letztere hier nicht interessieren).

Dann bleibt nur noch die Berechnung des Flächeninhalts.

Gruß, Silvia

max Rechteck.JPG

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Hallo Silvia, danke für deine Antwort ^^

So weit hab ich es jetzt verstanden, ich habe auch A‘(x) = 0 gesetzt.

-3x^2+8 = 0

1,63 = x

Ich denke, dass hab ich ebenfalls richtig gemacht. Als nächsten Schritt habe ich x in die zweite Ableitung eingesetzt:

A‘‘(x) = -6x

A‘‘(1,63) = -6*1,63 = -9,78 < 0 => Tiefpunkt (oder?)

A = 2*(-0,5*1,63^2+4) = 5,3431

Hab ich das jetzt richtig gemacht?

LG Ime

A‘‘(1,63) = -6*1,63 = -9,78 < 0 => Tiefpunkt (oder?)

Nein, wenn f''(x) kleiner 0, handelt es sich um einen Hochpunkt und

wenn f''(x) größer 0, handelt es sich um einen Tiefpunkt

A = 2*(-0,5*1,632+4) = 5,3431

Hier fehlt noch das x aus 2x, du hast berechnet 2 * f(x)

Richtig ist

A= 2*1,63*(-0,5*1,6322+4) =  8,71

Melde dich, wenn noch etwas unklar sein sollte.

viele Grüße, Silvia

Ich hab also, bis auf das was du für mich korrigiert hast, alles fertig und nun richtig?

Dann ist mir alles klar geworden, danke für deine Hilfe :D

Ich hab also, bis auf das was du für mich korrigiert hast, alles fertig und nun richtig?

Ja, so ist es :)

Noch mal Danke ^^

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Rechtecksfläche, wenn (x;y) die rechte obere Ecke ist:

A ( x,y) = 2x*y  und es gilt  y = -0,5x^2+4.

Also wird der Flächeninhalt gegeben durch

A(x) = 2x*( -0,5x^2+4) =  -x^3 + 8x

==>  A ' (x) = -3x^2 + 8

==> A ' (x) = 0  <=>  x = 2*√6  / 3 ≈ 1,63   ( neg. x sinnlos)

und A ' ' ( 2*√6  / 3 ) = -4*√6 < 0 ==>  Maximum bei x = 2*√6  / 3 ≈ 1,63

max. Flächeninhalt  A(  2*√6  / 3) ≈ 8,71

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Erst einmal danke für deine Antwort :)

Jedoch habe ich nicht alles verstanden, wieso ist es A = 2x*y und nicht nur A = x*y?

Und ich kann nicht nach vollziehe wie du von A‘(x) = 0 auf x = 2*√6/3 kommst, den Rest danach verstehen ich auch nicht. Wenn du mir das noch erklären würdest, wäre das echt nett, danke :)

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