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Liebe Lounge,

mich treibt folgende Frage um:


Bei der Berechnung des Schnittwinkels einer Gerade mit einer Ebene wird ja immer "der kleinstmögliche" Winkel berechnet.

Dieser liegt zwischen dem Richtungsvektoren der Geraden und der Projektion dieser auf die Ebene.


Nun die Frage: Zwischen der Geraden und der Ebene gibt es ja im Prinzip eine unbegrenzte Anzahl an Schnittwinkeln (ein Bsp. hänge ich als Grafik an).

--> alpha ist der gesuchte Winkel, beta ein weiterer möglicher Schnittwinkel.

Wie kann man mathematisch nachweisen, dass der gesuchte Winkel tatsächlich der kleinste ist?


Vielen Dank.

Beste Grüße

KombinatrixUntitled.png

vor von

3 Antworten

0 Daumen

Hallo

normalerweise berechnet man den Winkel α zwischen der Normalen der Ebene und der Geraden, der zw. Eben und Geraden ist dann 90°-α

sonst ist aber der Winkel zwischen der Geraden und ihrer senkrechten Projektion in die Ebene gemeint.

Wie du die 2 Winkel gemessen hast, ist mir aus der Zeichnung nicht klar für mich liegt dein α nicht zwischen 2 Schenkeln

lul

vor von 28 k
0 Daumen
Dieser liegt zwischen dem Richtungsvektoren der Geraden und der Projektion dieser auf die Ebene.

Der Winkel Beta liegt doch nicht zwischen der Geraden und der Projektion dieser Geraden auf die Ebene.

vor von 306 k 🚀

Ja klar, das stimmt.

Aber die Frage ist ja, wieso ist gerade dieser der kleinste ?

Stell dir mal eine Kugel um einen Punkt der Geraden vor.

blob.png

Diese Kugel bildet mit der xy-Ebene einen Schnittkreis. Nach dem Satz des Thales ist also Jedes Dreieck zwischen Koordinatenursprung, Punkt A und einem Punkt auf dem Schnittkreis rechtwinklig. Nach dem Sinussatz wird der Winkel bei A umso größer je größer die Gegenüber liegende Seite ist. Das ist auf dem Schnittkreis allerdings der Punkt der diagonal dem Ursprung gegenüber liegt und damit der Lotfußpunkt von A auf die xy-Ebene.

Habe mal versucht, deine Konstruktion nachzuempfinden.

Die entstandene Grafik hänge ich dir als GeoGebra Applet an.

Ich verstehe allerdings nicht wirklich, wie man damit beweisen kann, dass alpha tatsächlich der kleinste Winkel ist zwischen Gerade und Ebene.


https://www.geogebra.org/m/qwftcba3


Danke und liebe Grüße.


Ps.: Es ist intuitiv klar, dass es stimmt, aber ich hätte es gerne mal als mathematischen Beweis gesehen.

Lieber Mathecoach,

was hältst du von folgendem Ansatz (Begründung mit Kosinussatz) und meinem verlinkten Applet: https://www.geogebra.org/m/qwftcba3


cos(alpha)= \( \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \)=\( \frac{b^2}{2bc} \)+\( \frac{c^2}{2bc} \)-\( \frac{a^2}{2bc} \).


Dabei gilt: c ist der Radius des Kreises (also immer gleich)

b ist die Länge des Richtungsvektors der Geraden, also immer gleich.


a liegt dem gesuchten Winkel gegenüber und ist die Länge der Strecke DF. Da das Lot von F auf die xy Ebene der kürzesten Strecke entspricht, wird durch bewegen des Punktes D auf dem Kreisbogen a in jedem Fall länger sein, als wenn a das Lot auf die Ebene ist.

Betrachtet man den Arkuskosinus auf dem Intervall [0;1] so erkennt man, dass der Winkel von alpha umso kleiner wird, desto größer das Argument ist.


Betrachtet man nun die Gleichung des Kosinussatzes, so erkennt man, dass cos(alpha) maximal wird, wenn a möglichst klein ist. Das ist aber genau dann der Fall, wenn a das Lot von F auf die xy-Ebene bildet.


Das müsste der Beweis sein oder?

Ja. So kannst du das auch machen. Finde ich sogar etwas schöner als meine Variante.

0 Daumen

Vorschlag für ein Experiment:

Öffne ein Fenster oder eine Tür so dass dein Geodreick (oder ein anderes Dreieck) den Winkel zwischen der Fensterfläche und dem Rahmen misst.

D.h. eine Seite des Dreiecks liegt im Rahmen oder auf der Schwelle am Boden an, die andere irgendwo in der Tür- oder Fensterfläche.

So solltest du experimentell feststellen können, wie man den kleinsten Winkel messen kann.

vor von 155 k 🚀
Wie kann man mathematisch nachweisen, dass der gesuchte Winkel tatsächlich der kleinste ist?

Hier könntest du die Richtungen auf der Ebene parametrisieren, einen Richtungsvektor der Geraden benutzen und so eine Extremwertaufgabe aus deiner Fragestellung machen.

Könntest du das näher erläutern bitte?

Was meinst du mit das ?

Falls am Computer bist, kannst du den Öffnungswinkel zwischen Bildschirm und Tastatur auch mit dem Geodreieck messen.

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