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Aufgabe:

Sei \(x:= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}\) und \(E:=Span(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\1 \end{pmatrix})\).

a) Finden Sie eine hessesche Normalform von E.

b) Berechnen Sie die orthogonale Projektion \(p\) von \(x\).

c) Ermitteln Sie den Abstand zwischen \(x\) und \(E\).


Problem/Ansatz:

a) \(E = \{v \in \mathbb{R}^n: \frac{\langle \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \rangle}{\sqrt{21}}  = 0 \} \)

b) Wir berechnen die Gram-Matrix \(G = \begin{pmatrix}  6 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}\).

Und müssen folgendes Gleichungssystem lösen:

\(6*\alpha_1+3*\alpha_2 = 4 \)

\(3*\alpha_1+5*\alpha_2 = 3\)

und erhalten die Werte \(\alpha_1 = \frac{11}{21}\) und \(\alpha_2 = \frac{2}{7}\), somit ist \(p= \frac{11}{21} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\1 \end{pmatrix} + \frac{2}{7} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \)

c) Für den Abstand kann man die hessesche Normalform verwenden und den Punkt einsetzen und man erhält \( \frac{-1}{\sqrt{21}} \).

Könnt ihr das einmal überprüfen?

von
Könnt ihr das einmal überprüfen?

Du kannst auch versuchen, die Daten aus der Aufgabe und Deine Lösung in Geoknecht3D zu visualisieren:

blob.png

(klick auf das Bild)

Dann bekommt man schnell ein Gefühl dafür, ob die errechnete Lösung sinnvoll ist.

Danke dafür, dass du mir eine Möglichkeit zum Visualisieren der Konzepte aufzeigst!

1 Antwort

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Beste Antwort

Das kommt mir alles sehr richtig vor !

von 229 k 🚀

Vielen lieben Dank für das Rüberschauen. Kann mir jetzt so ziemlich sicher sein, dass ich dieses Thema einigermaßen verstanden habe.

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