Zeigen Sie: Haben M,N ∈ Matm(R) untere Dreiecksgestalt, so auch M ·N.

Question

ich habe die folgende aufgabe bekommen, ich habe im Skriptum nach möglichen lösungen gesucht, leider erfolglos. Könnte mich jemand helfen? Wäre sehr dankbar!

Danke.

Aufgabe:

Sei R ein Ring und m ∈ N. Eine Matrix M = (mij)i,j=1,...,m ∈ Matm(R) hat untere Dreiecksgestalt, wenn fu¨r i < j stets mij = 0 gilt. Zeigen Sie: Haben M,N ∈ Matm(R) untere Dreiecksgestalt, so auch M ·N.

Answer 1

Ist P = (p_ij)_i,j=1,...,m und Q = (q_ij)_i,j=1,...,m, dann gilt für R = (r_ij)_i,j=1,...,m mit R = P·Q:

        r_ij = ∑_k=1..m  p_ik·q_kj.

Untersuche für den Fall i < j die Summanden.

Fall 1: i < k

        Was weißt du dann über p_ik und q_kj?

Fall 2: k ≤ i

        Was weißt du dann über p_ik und q_kj?

Comments

mir fällt leider nichts ein, für die fälle 1,2

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ich habe es so geschrieben aber bin mir nicht sicher ob das richtig ist,

Satz: für jede untere Dreieckmatrix m ist M^t eine obere .

Hilfsatz: ∀ i,j ∈ {1,..,n} (i<j => ∀ k ∈ {1,..,n} (Mij = 0 und N_jk =0))

Behauptung: ∀ i,j ∈ {1,..,n} (i<j => P_ij =  \( \sum\limits_{k=1}^{n}0=0 \).

Wenn M eine untere Dreieckmatrix ist, dann gilt für i die Beziehung M_ij=0 für alle j>i, also j = i+1,..,n.

Wenn N eine untere Dreieckmatrix ist, dann gilt für j die Beziehung N_jk=0 für alle j<k, also j=1,..,k-1.

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zu Fall 1: Ist P eine untere Dreiecksmatrix und i < k ist, dann ist p_ik = 0.

zu Fall 2: Ist Q eine untere Dreiecksmatrix und k ≤ i ist, dann ist wegen i < j auch k < j, also q_kj = 0.

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Ahso! Danke dir! in dem oberen Kommentar, meine lösung wäre nicht das was gefragt wird oder?

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Richtig. Die hat mit der Aufgabenstellung überhaupt nchts zu tun.

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Vielan Dank!