Zeigen Sie, dass es keine natürliche Zahl mit genau 20 Teilern und genau 4 Primteilern gibt.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass es keine natürliche Zahl mit genau 20 Teilern und genau 4 Primteilern gibt.

Problem/Ansatz:

Ich weiß irgendwie gar nicht so recht, wo/wie ich beginnen soll.
Ich weiß, dass man die Anzahl der Teiler ausrechnet, indem man die Zahl in Primfaktoren zerlegt und dann die Exponenten +1 miteinander multipliziert.
Ich habe also folgendes:

20= (a+1)*(b+1)*(c+1)*(d+1)

Ich weiß auch, dass a,b,c und d ≠ 0 sind, da sonst die vier Primteiler keiner Primteiler mehr wären, sondern 1.

Ich habe ein bisschen rumprobiert (indem ich für a, b, c und d jeweils mal 1, 2 oder 3 eingesetzt habe) und habe dabei auch gemerkt, dass es wohl keine Lösung gibt. Also genau das soll ich ja zeigen.

Aber es muss ja auch einen anderen Weg aus "irgendwas einsetzen und mal schauen" geben.

Hasse-Diagramme hatten wir auch. Vielleicht damit?
Das habe ich allerdings auch nicht wirklich hinbekommen :(

Answer 1

Ein konkretes Beispiel:

2·3·5·7=210

210 hat 2·2·2·2=16 Teiler.

Wenn ein Primteiler z.B. 2 doppelt vorkommt, sind es 3·2·2·2=24 Teiler.

20 Teiler sind also nicht möglich.

---------------------------------------------------

20= (a+1)*(b+1)*(c+1)*(d+1)=2·2·5

Da jede Klammer mindestens den Wert 2 haben muss, kann 20 nicht als Produkt von 4 Zahlen, die alle größer als 1 sind dargestellt werden.

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Hallo Marie,

Ich habe also folgendes:
20= (a+1)*(b+1)*(c+1)*(d+1)

Ist doch schon (fast) die Lösung. Wenn \(a,b,c,d \gt 0\) sind, so ist jeder der obigen vier Faktoren \(\gt 1\). Die 20 kann man aber maximal$$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$$ in drei Faktoren \(\gt 1\) zerlegen.

Geht also nicht!