Gleichung der Tangenten an den Graphen der natürlichen Exponentialfunktion mit zwei Punkten bestimmen.

Question

a)Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten an den Graphen der natürlichen Exponentialfunktion in den Punkten A(1/e) und B (-1/e-1 )

b) In welchen Punkten schneiden die Tangenten aus Teilaufgabe a) die x- und y-Achse ?

 

Lösungsvorschlag : 
Tangentengleichung ist ja y=mx+b

und 

natürliche Exponentialfunktion f(x)=e^x

f'(x)=e^x

jedoch weiss ich nicht, wie ich die Punkte intigrieren soll.
 

Danke schonmal für die Hilfe.

Answer 1

Hi,

die Ableitung ist richtig. Nun sollst Du ja die Tangente im Punkt A(1|e) bestimmen.

Die Steigung ist durch die Ableitung gegeben f'(1) = e

Damit haben wir bei y = mx+b schon m = e. Nun noch A einsetzen um b zu erhalten:

e = 1*e+b --> b = 0


-----> y = e*x


Für B)

f'(-1) = e^{-1} = m

e^{-1} = -1*e^{-1} + b   -> b = 2*e^{-1}

------> y = e^{-1}*x + 2*e^{-1}


b)

Tangente durch A: Die x und y-Achse werden jeweils im Ursprung geschnitten.

Tangente durch B: y-Achsenschnitt -> S_y(0|2e^{-1})

x-Achsenschnitt -> f(x) = 0 = e^{-1}*x + 2e^{-1}

e^{-1}*x = -2e^{-1}    |:e^{-1}

x = -2

N(-2|0)


Grüße

Comments

e = 1*e+b --> b = 0

ich komme aber auf b=1.

wie kann das sein? oder wie bist du darauf gekommen ?

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Wie kommst Du denn da auf 1?

e = 1*e+b

e = e+b   |-e

0 = b


;)

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e^-1 = -1*e^-1 + b   -> b = 2*e^-x

und wie kommst du darauf ? 

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Oh, das war nur ein Schreibfehler. Üblich ist ja einfach e^x^^.

Habs direkt korrigiert.

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Tangente durch A: Die x und y-Achse werden jeweils im Ursprung geschnitten.

Tangente durch B: y-Achsenschnitt -> S_y(0|2e^-1)

 

und wie kommst du da drauf ? Sorry aber verstehe das ganze thema noch nicht :D

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Für den Schnittpunkt mit der x-Achse gilt:

f(x) = 0

für den Schnittpunkt mit der y-Achse gilt:

f(0) = y


Das also machen. Im Falle von A:

hatten wir ja: y = e*x

x-Achsenschnittpunkt: Für f(x) = y = e*x = 0 --> x = 0

--> Das ist der Ursprung.

Der y-Achsenabschnitt war ja zu bestimmen über f(0) = y

Also y = e*x --> y = e*0 = 0

Das ist ebenfalls der Ursprung ;).


Klar?!

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jaa verstanden !
und das ist immer so ? also immer f(x)=0 ?

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Ja, f(x) = 0 ist ja nichts anderes als die x-Achse. Du berechnest also den Schnitt zwischen der x-Achse und der Funktion. Das ist immer so ;).