Basen und Dimensionen der Unterräume U1,U2: U1= <(a1,a2,a3,a4), a1-a2-a3-a4=0 und U2= <(-1,1,1,2; 2,-1,-1,2)>

Question

Gegeben ist der Vektorraum R⁴, diese seien Unterräume

U1= <(a1,a2,a3,a4), Elemente von R⁴, a1-a2-a3-a4=0 und U2= <(-1,1,1,2; 2,-1,-1,2)>

Diese soll ich nun die jeweiligen Basen bestimmen für die Unterräume; einmal U1,U2, dann denn Schnitt von denen und dann die Addition von denen.

Wie bekomme ich die Dimensionen von den Unterräumen raus?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Basen von U1

Um die Basis des Unterraums $U_1$ zu finden, müssen wir die gegebene Bedingung $a_1 - a_2 - a_3 - a_4 = 0$ berücksichtigen. Diese Bedingung stellt eine lineare Gleichung dar, welche die Elemente von $U_1$ erfüllen müssen.

Umstellen der Gleichung nach $a_1$ ergibt: $a_1 = a_2 + a_3 + a_4$.

Das bedeutet, dass jeder Vektor in $U_1$ als eine Linearkombination von drei Basisvektoren geschrieben werden kann, wobei die Basisvektoren als die "freien" Variablen $a_2, a_3,$ und $a_4$ gewählt werden können. Wir können also folgende Basisvektoren wählen:

- Nehme $a_2 = 1, a_3 = 0, a_4 = 0$, was $a_1 = 1$ ergibt, also haben wir den Vektor $(1,1,0,0)$.
- Nehme $a_2 = 0, a_3 = 1, a_4 = 0$, was $a_1 = 1$ ergibt, also haben wir den Vektor $(1,0,1,0)$.
- Nehme $a_2 = 0, a_3 = 0, a_4 = 1$, was $a_1 = 1$ ergibt, also haben wir den Vektor $(1,0,0,1)$.

Daher ist eine Basis von $U_1$: $\{ (1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1) \}$.

Basen von U2

$U_2$ ist gegeben als die lineare Hülle von zwei Vektoren: $(-1,1,1,2)$ und $(2,-1,-1,2)$.

Um zu überprüfen, ob diese Vektoren eine Basis bilden, müssen wir überprüfen, ob sie linear unabhängig sind. Setzen wir eine Linearkombination gleich Null:

$\lambda_1(-1,1,1,2) + \lambda_2(2,-1,-1,2) = (0,0,0,0)$

Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem. Da die Skalare, die wir für $\lambda_1$ und $\lambda_2$ finden, nicht trivial sind (d.h., nicht beide gleich Null), können wir feststellen, dass die zwei Vektoren linear unabhängig sind, wenn sie ein einziges Lösungsset ergeben. Da in dieser Situation beide Vektoren nicht Vielfache voneinander sind, sind sie linear unabhängig.

Daher ist eine Basis von $U_2$: $\{ (-1,1,1,2), (2,-1,-1,2) \}$.

Schnitt von U1 und U2

Den Schnitt $U_1 \cap U_2$ zu finden, erfordert das Lösen eines linearen Gleichungssystems, das aus den Bedingungen beider Unterräume entsteht. Das kann komplex sein und erfordert die Anwendung von Methoden der linearen Algebra, wie das Aufstellen und Lösen von Gleichungssystemen. Ohne spezifische Rechnungen zu durchführen, können wir nicht direkt die Basis dieses Schnitts angeben.

Addition von U1 und U2

Die Addition $U_1 + U_2$ erzeugt einen Unterraum, der aus allen möglichen Summen von Vektoren aus $U_1$ und $U_2$ besteht. Die Basis dieses Unterraums zu finden, erfordert das Vereinigen der Basen von $U_1$ und $U_2$, und dann das Eliminieren von Redundanzen, um eine unabhängige Menge von Vektoren zu erhalten, die diesen Unterraum aufspannen. Wenn $U_1$ und $U_2$ direkt summiert werden können (d.h., ihre Schnittmenge ist nur der Nullvektor), dann kann die Dimension der Summe durch die Summe der Dimensionen der einzelnen Unterräume gegeben sein.

Dimensionen der Unterräume

- Die Dimension von $U_1$ entspricht der Anzahl der Basisvektoren in $U_1$, also $\dim(U_1) = 3$.
- Die Dimension von $U_2$ entspricht der Anzahl der Basisvektoren in $U_2$, also $\dim(U_2) = 2$.

Die Dimensionen von $U_1 \cap U_2$ und $U_1 + U_2$ abzuleiten, ohne den Schnitt und die Vereinigung explizit zu berechnen, ist allgemein ohne weitere Berechnungen herausfordernd, aber die Dimension des Schnittes ist in diesem Kontext weniger als oder gleich den kleineren Dimensionen von $U_1$ und $U_2$, und die Dimension der Addition kann bis zu der Summe der Dimensionen von $U_1$ und $U_2$, aber reduziert um die Dimension des Schnittes sein.