Bestimmen Sie die Gleichung der Tagente T an den Graphen der natürlichen exponentialfunktion im Punt P(2 | f(2))

Question

A)

Bestimmen Sie die Gleichung der Tagente T an den Graphen der natürlichen exponentialfunktion im Punt P(2 | f(2))

B)

Der Graf der natürlichen Exponentialfunktion schließt mit der Tangente im Punkt P(2 | f(2)) und den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe den Ansatz hierbei nicht wirklich, also wie man anfängt die Tangentengleuchung aufzustellen.

Answer 1

A) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen der natürlichen Exponentialfunktion im Punkt P(2 | f(2)).

f(x)=e^x →   f(2)=e^2

f´(x)=e^x  →  f´(2)=e^2

Allgemeine Punkt-Steigungsform einer Geraden:    \( \frac{y- y₁ }{x-x₁} \) =  m

\( \frac{y- e^2 }{x-2} \) =  f´(2)=e^2

y- e^2=e^2*x-2e^2

Tangente:   y=e^2*x-e^2

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Vielen Dank .

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B) Der Graf der natürlichen Exponentialfunktion schließt mit der Tangente im Punkt P(2 | f(2)) und den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

Fläche unter e^x

A_1=\( \int\limits_{0}^{2} \)e^x*dx=e^2-e^0=e^2-1

Nullstelle der Tangente: y=e^2*x-e^2

e^2*x-e^2=0

x=1

Fläche des Dreiecks:

A_2=\( \frac{1}{2} \) *e^2

A=A_1-A_2

A=e^2-1-\( \frac{1}{2} \) *e^2=\( \frac{1}{2} \) *e^2-1

Answer 2

Hallo

 1. f(x)=e^x

a) die Ableitung f'(x)=e^x gibt die Steigung der Tangente an, und die Gerade mit Steigung e^2 durch den Punkt (2,e^2) kannst du sicher aufstellen.  Kontrolle y=e^2*x-e^2

b) das Zeichnen  dann siehst du, was du integrieren musst.

Gruß lul

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Vielen Dank.

Answer 3

Hallo,

die natürliche Exponentialfunktion \(f(x)=e^x\) hat die Ableitung = Steigung \(f'(x)=e^x\).

Der Punkt hat die Koordinaten \(P(2\mid e^2)\).

Die Steigung der Tangente ist ebenfalls \(f'(2)=e^2=m\).

Die Gleichung der Tangente kannst du mit der Punkt-Steigungsform aufstellen:

\(t(x)=m\cdot (x-x_0)+y_0\)

Kommst du damit weiter?

Gruß, Silvia

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Vielen Dank.