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Arithmetisches und geometrische Mittel

Es sei 0 < a < b. Man definiere Intervalle [an; bn], n ∈ N>0, rekursiv durch [a1, b1] := [a, b]
sowie durch

an+1=√(anbn)  und bn+1=(an+bn)÷2



Man zeige, dass sie eine Intervallschachtelung bilden. Man zeige ferner die Abschätzung



b(n+1)-an+1≤1/8a×(bn-an)2



Den oberen Teil habe ich gelöst, aber ich würde mich über Unterstützung bei der Abschätzung freuen


MfG


Grilpower

von

1 Antwort

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Nach einsetzen der Rekursionswerte muss folgendes bewiesen werden

$$ \frac{a_n + b_n}{2} - \sqrt{a_n b_n} \le \frac{1}{8a} (a_n - b_n)^2 $$

Der Ausdruck kann wie folgt umgeformt werden

$$ \left( \sqrt{a_n} - \sqrt{ b_n } \right)^2 \le \frac{1}{4a} (b_n -a_n)^2 $$ Multiplikation beider Seiten mit \( \left( \sqrt{a_n} + \sqrt{ b_n } \right)^2 \) führt zu

$$ (a_n - b_n)^2 \le \frac{1}{4a} (b_n-a_n)^2 \left( \sqrt{a_n} + \sqrt{ b_n } \right)^2  $$ Also zu

$$ 4a \le \left( \sqrt{a_n} + \sqrt{ b_n } \right)^2 = a_n + 2 \sqrt{a_n b_n} + b_n $$

Und wegen \( a \le a_n \), \( a \le b_n \) und \( a \le \sqrt{a_n b_n } \) ist die letzte Aussage richtig und damit auch die Ungleichung bewiesen.

von 39 k

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