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Aufgabe:

Sei \(x_n= 1 + \frac 1{1!} + \frac 1{2!} + \dots + \frac 1{n!}, \space n \in \mathbb{N}\). Zeige für \(n \in \mathbb{N}\) mit \(2 \le m \lt n\) gilt: $$\begin{aligned}\left(1+ \frac 1n \right)^n &> 1+\frac 1{1!} +\frac 1{2!}\left(1- \frac 1n\right)+\frac 1{3!}\left(1- \frac 1n\right)\left(1- \frac 2n\right)+ \\ &\dots +\frac 1{m!}\left(1- \frac 1n\right)\cdots\left(1- \frac {m-1}n\right) \end{aligned}$$

Sei xn=1+1/1! +...+1/n! , n ∈ N. Zeige für n ∈ N mit 2≤m<n gilt 

(1+1/n)^n > 1+1/1! +1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+...+1/m!(1-1/n)....(1-m-1/n)


Problem/Ansatz:

Habe keinen wirklichen Ansatz dafür gefunden, der mir weiterhilft. Habe in Büchern nachgeschaut und da lässt sich auch nicht viel finden.


Danke

von

1 Antwort

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Entwickle mal die linke Seite nach dem binomischen Satz (wenigstens die ersten 4 bis 5 Summanden) und vergleiche summandenweise mit der rechten Seite. So etwas wie 1-(1/n), 1-(2/n) usw. würde ich dabei in (n-1)/n , (n-2)/n usw. umschreiben.

von 46 k

Entwickle die linke Seite nach dem bin.Lehrsatz:

(1+1/n)^n =1+1+1-1/n /2! + (1-1/n)*(1-2/n) /3! +(1-1/n)*(1-2/n)*(1-3/n /4! +...+(1-1/n)*(1-2/n)*...*(1-n-1/n) /n!

Jetzt weiß ich, dass die Differenz beider Seiten für n—> ∞  gegen null läuft.

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