Grenzwert dieser Folge von Brüchen? wenn ja wie lautet er?

Question

Hi,

an=(\( \dfrac{1-(1-1/n)^5}{1-(1-1/n)^2} \) )

Zu dieser Folge soll ich sagen ob es einen Grenzwert gibt und wenn ja wie er lautet.

Comments

der Grenzwert existiert und ist Null, da der Zähler offensichtlich quadratisch schneller gegen null konvergiert als der Nenner.

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Ich habe 5/2 raus.

Answer 1

Aloha :)

$$a_n=\frac{1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^5}{1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^2}=\frac{1-\left(1-\frac{5}{n}+\frac{10}{n^2}-\frac{10}{n^3}+\frac{5}{n^4}-\frac{1}{n^5}\right)}{1-\left(1-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}$$$$\phantom{a_n}=\frac{\frac{5}{n}-\frac{10}{n^2}+\frac{10}{n^3}-\frac{5}{n^4}+\frac{1}{n^5}}{\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}=\frac{5-\frac{10}{n}+\frac{10}{n^2}-\frac{5}{n^3}+\frac{1}{n^4}}{2-\frac{1}{n}}\to\frac{5}{2}$$

Comments

Wie kommst du auf den 1. Schritt ohne Exponenten  bei der Klammer?

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Ich habe die allgemeine binomische Formel verwendet:$$(a\pm b)^5=a^5\pm5a^4b+10a^3b^2\pm10a^2b^3+5ab^4\pm b^5$$

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Danke Tschakabumba. Du hilfst einem am Besten und auch so, dass man es am besten nachvollziehen kann

Answer 2

Kann man mit l'Hospital machen in dem man \( x = 1 - \frac{1}{n} \) setzt und den Grenzwert von

$$ \lim_{x\to1} \frac{1-x^5}{1-x^2}  $$ betrachtet. Dann folgt $$ \lim_{x\to1} \frac{1-x^5}{1-x^2} = \lim_{x\to1} \frac{-5x^4}{-2x} = \lim_{x\to1} \frac{5}{2}x^3 = \frac{5}{2} $$