Eine Zahl ist durch 10 teilbar genau dann, wenn sie durch 2 und durch 5 teilbar ist:
Ich würde einfach mal die verschiedenen Fälle bzgl. Teilbarkeit durch 5 durchgehen:
Dazu betrachte
Fall1 : n^3+n = n*(n^2 + 1) und
Fall2 : n^3 -n = n*(n+1)*(n-1)
Wenn 5|n gilt , dann ist im Fall2 die Sache durch 10 teilbar;
denn 5|n und einer der drei Faktoren n*(n+1)*(n-1) ist sicherlich gerade.
Wenn 5|n+1 gilt , dann ist es entsprechend und
Wenn 5|n-1 gilt auch.
Bleiben also die Fälle
Wenn 5|n+2 und 5|n+3 , also ist im Fall2 keiner der Faktoren durch
5 teilbar , also auch n^3 -n nicht.
Dann wird wohl der Fall1 zum Erfolg führen:
5|n+2 ==> n ist von der Form 5k-2
==> n^2 = 25k^2 - 10k + 4
==> n^2 + 1 = 25k^2 - 10k + 4 + 1 = 5*(5k^2 -2k + 1)
also ist das schon mal durch 5 teilbar.
Wenn n gerade ist, dann ist also im Produkt n*(n^2 + 1)
ein Faktor durch 2 und einer durch 5 teilbar, also das Produkt durch 10.
Wenn n ungerade ist, dann auch n^2 und somit n^2 + 1 gerade, also durch 2
und durch 5 teilbar, also auch durch 10.
Bleibt der letzte Fall: 5|n+3 ==> n=5k-3
==> n^2 = 25k^2 - 15k + 9
==> n^2 + 1 = 25k^2 - 15k + 9 + 1 = 5*( 5k^2 - 3k + 2) ,
also durch 5 teilbar. Und wie oben kann man argumentieren, dass einer
der Faktoren von n*(n^2 + 1) gerade sein muss, also das Produkt durch 10 teilbar.
q.e.d.
