Grenzwerte von Funktionen. Was ist der Unterschied zwischen den Zahlen ohne + und mit + Zeichen?

Question

Unten ist der Graph einer Funktion f : [1, 6] → R zu sehen. Der ausgefüllte Kringel bei (3,2) bedeutet, dass f(3) = 2, der nicht ausgefüllte Kringel bei (3,1) bedeutet, dass f(3) ist ungleich 1 usw.

 

Lesen Sie am Graphen die folgenden Grenzwerte ab oder begründen Sie kurz, warum sie nicht existieren:

a) \( \lim \limits_{x \rightarrow 2-} f(x), \lim \limits_{x \rightarrow 2+} f(x) \operatorname{und} \lim \limits_{x \rightarrow 2} f(x) \)

b) \( \lim \limits_{x \rightarrow 3-} f(x), \lim \limits_{x \rightarrow 3+} f(x) \) und \( \lim \limits_{x \rightarrow 3} f(x) \)

c) \( \lim \limits_{x \rightarrow 4-} f(x), \lim \limits_{x \rightarrow 4+} f(x) \) und \( \lim \limits_{x \rightarrow 4} f(x) \)

d) \( \lim \limits_{x \rightarrow 5-} f(x), \lim \limits_{x \rightarrow 5+} f(x) \) und \( \lim \limits_{x \rightarrow 5} f(x) \)

Wie löse ich diese Aufgabe? Was ist der Unterschied zwischen den Zahlen ohne + und mit + Zeichen?

Answer 1

Schau mal unter: https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Funktion)#Einseitige_Grenzwerte

Comments

Das ist viel zu abstrakt für mich .. können Sie mir sagen wie Aufgabe a aussehen würde nach dieser Definition von Wikipedia?

Answer 2

Aloha :)

a) Wenn mach sich \(x=2\) von links nähert: \(\lim\limits_{x\to2-}f(x)=1\).

\(\phantom{a)}\)Wenn man sich \(x=2\) von rechts nähert: \(\lim\limits_{x\to2+}f(x)=1\)

\(\phantom{a)}\)Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert sind gleich: \(\lim\limits_{x\to2}f(x)=1\)

b) Wenn mach sich \(x=3\) von links nähert: \(\lim\limits_{x\to3-}f(x)=2\).

\(\phantom{a)}\)Wenn man sich \(x=3\) von rechts nähert: \(\lim\limits_{x\to3+}f(x)=1\)

\(\phantom{a)}\)Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert sind ungleich: \(\lim\limits_{x\to3}f(x)=\)nicht definiert.

c) Wenn mach sich \(x=4\) von links nähert: \(\lim\limits_{x\to4-}f(x)=2\).

\(\phantom{a)}\)Wenn man sich \(x=4\) von rechts nähert: \(\lim\limits_{x\to4+}f(x)=3\)

\(\phantom{a)}\)Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert sind ungleich: \(\lim\limits_{x\to4}f(x)=\)nicht definiert.

d) Wenn mach sich \(x=5\) von links nähert: \(\lim\limits_{x\to5-}f(x)=2\).

\(\phantom{a)}\)Wenn man sich \(x=5\) von rechts nähert: \(\lim\limits_{x\to5+}f(x)=2\)

\(\phantom{a)}\)Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert sind gleich: \(\lim\limits_{x\to5}f(x)=2\).

Lass dich bei d) nicht davon irritieren, dass der Funktionswert \(f(5)=1\) ist [ausgefüllter Punkt]. Der Grenzwert \(\lim\limits_{x\to5}f(x)\) ist trotzdem \(2\). Wenn Grenzwert und Funktionswert an einer Stelle unterschiedlich sind, ist die Funktion an dieser Stelle nicht stetig! Bei a) sind Grenzwert und Funktionswert beide gleich \(1\). Daher ist bei die Funktion bei \(x=1\) stetig.

Answer 3

Vielleicht noch eine Ergänzung zu den leeren Punkten. Das sind "Löcher".

D.h. f(2) = 1

f(3) = 2 und nicht 1

f(4) = 3 und nicht 2

f(5) = 1 und nicht 2

Dann

Was ist der Unterschied zwischen den Zahlen ohne + und mit + Zeichen?

Ohne Plus nach der Zahl muss beim Grenzübergang von links und rechts dasselbe herauskommen.

Es gibt den gleichen Unterschied auch mit dem Minuszeichen hinter den Zahlen.

3- bedeutet Plus3 wird von links her angesteuert. 

Dagegen bedeutet -3-, dass MInus3 von links her angesteuert wird.