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Aufgabenstellung: Bestimmen Sie die linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerte:

$$ \lim_{x\rightarrow a - 0} f(x) \\ \lim_{x\rightarrow a + 0} f(x) $$

Musterlösung:

$$ f(x) = \frac{\cos x}{x}$$ mit a = 0

Da f(x) = -f(x) ist f ungerade
- ganz zu schweigen davon, das ich keine Ahnung habe, wie man gerade/ungerade bestimmt, warum bestimmt man es überhaupt? Wofür ist dies wichtig?

= cos x · 1/x

$$ lim_{x \rightarrow 0 - 0} f(x) = -\infty \\ lim_{x \rightarrow 0 + 0} f(x) = \infty$$

Wie ist das denn möglich? Wenn ich die 0 einsetze, habe ich 1/0, was ein unbestimmter Ausdruck ist.
Oder soll ich diese Aufgabe mit Hilfe der Graphen lösen?

Aufgaben:

$$1. f(x) = \frac{\sin4x}{x}$$
$$2. f(x) = |x| - x $$
$$3. f(x) = \frac{|2x|}{x} $$
Bei allen dreien für a = 0.

von

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Wenn ich die 0 einsetze, habe ich 1/0, was ein unbestimmter
Ausdruck ist.

Du sollst nicht 0 einsetzen sondern

lim x −> 0(-)  : x geht gegen 0 von links
bzw
lim x −> 0(+)  : x geht gegen 0 von rechts

es ergibt sich
lim x −> 0(-)  [ cos (x ) * 1/x ] = 1 * (- ∞) = - ∞
lim x −> 0(+)  [ cos (x ) * 1/x ] = 1 * (+ ∞) = + ∞

von 122 k 🚀
2.) f ( x ) = | x |  - x
Siehst so aus als käme 0 heraus.

Verstehe ich trotzdem nicht, wie aus 1/x = -∞ kommt. Genauso für 1/x = ∞.
Wenn ich ja von links komme, habe ich:

$$ \frac{1}{-10}, \frac{1}{-25}, \frac{1}{-584648612338}... \frac{1}{-\infty} $$

Wenn ich von rechts komme, habe ich:

$$ \frac{1}{+2}, \frac{1}{+380}, \frac{1}{+5648612338}... \frac{1}{+\infty} $$

Da habe ich die unendlichkeit immer noch im Nenner, und nicht im Zähler.

Bei dir werden die Zahlen im Nenner immer größer.

Das ist falsch. Der Nenner geht gegen 0.
Ich schrieb :
lim x −> 0(-)  : x geht gegen 0 von links
lim x −> 0(-)  [ 1 / x ] = - ∞

Das dürfte bekannt sein.

Die Reihe ist
1 / 1 = 1
1 / 0.1 = 10
1 / 0.01 = 100
1 / ( fast null ) = unendlich

Also:

$$1. f(x) = \frac{sin4x}{x} \\ \lim_{x\rightarrow 0-0} = sin4x \cdot \frac{1}{x}$$
Sinus 4x geht gegen 0. 1/x geht von links gegen -∞
Somit ist der linksseitige limes = -∞
$$1. f(x) = \frac{sin4x}{x} \\ \lim_{x\rightarrow 0+0} = sin4x \cdot \frac{1}{x}$$
Sinus 4x geht gegen 0. 1/x geht von rechts gegen ∞
Somit ist der rechtsseitige limes = ∞

$$2. f(x) = |x| - x \\ lim_{x\rightarrow 0-0} = |x| - x $$
|x| geht gegen 0, da |-0| = 0. x geht auch gegen 0, da (- (-0) = 0)
Somit ist der linksseitige limes = 0
$$2. f(x) = |x| - x \\ lim_{x\rightarrow 0+0} = |x| - x $$
|x| geht gegen 0. x geht auch gegen 0
Somit ist der rechtsseitige limes = 0

$$3. f(x) = \frac{|2x|}{x} \\ \lim_{x\rightarrow 0-0} = |2x| \cdot \frac{1}{x} $$
|2x| geht gegen 0, da |-2·0| = 0. 1/x geht von links gegen -∞
Somit ist der linksseitige limes = -∞
$$3. f(x) = \frac{|2x|}{x} \\ \lim_{x\rightarrow 0+0} = |2x| \cdot \frac{1}{x} $$
|2x| geht gegen 0. 1/x geht von rechts gegen ∞
Somit ist der rechtsseitige limes = ∞

Habe ich es richtig begriffen?

Nein, ist noch was falsch.

Bei |x| * 1/x hast du ja sozusagen den Fall 0 * unendlich

und über den kann man allgemein nichts sagen, kann 0 sein, kann unendlich sein

oder auch eine andere Zahl. Nimm mal

x * 1/x da ist es immer 1

aber x^2 * 1/x da geht es für x gegen Null insgesamt gegen 0

oder x * 1/x^2 da geht es für x gegen Null insgesamt gegen unendlich.

In deinem Fall ist es

von rechts +2

und von links -2

Und außerdem \( \frac{\sin(4x)}{x} \to 4 \) für \( x \to 0 \).

Der Fall cos(x) / x dürfte richtig beantwortet worden sein.
Die Aufgabe 3 auch.

2.)
lim x −> 0(-)  [ sin ( 4x ) / x ]
Sin(4x) geht gegen 0
Also der Term insgesamt 0 / 0

Ein Fall für l´Hospital
[ sin ( 4x ) ] ´/  x ´ = [ cos (4x ) * 4 ] / 1

lim x −> 0(-)  [  cos (4x ) * 4 ] = 1 * 4 = 4

Rechtsseitig dasselbe.

Um die Methode von l ´Hospital kommen wir glaube
ich nicht herum.

2.)
lim x −> 0(-)  [ sin ( 4x ) / x ]
Sin(4x) geht gegen 0
Also der Term insgesamt 0 / 0    Das ist falsch!

Aber es geht auch ohne d' Hospital:

vielleicht kennst du die Formel sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

( kann man leicht aus dem Add.theorem herleiten,

sin(4x) = 2 sin(2x)* cos(2x)

= 2 * 2 sin(x) * cos(x) * ( 1 - 2 sin^2 (x) )

dann ist sin(4x)

=   2 * 2 sin(x) * cos(x) * ( 1 - 2 sin^2 (x) )    / x   und den Nenner setzen wir unter sin(x), also so:

=    2 *  2   * sin(x) / x   * cos(x) * ( 1 - 2 sin^2 (x) )  

und jetzt hat mal alles bekannte Grenzwerte bei den Faktoren

rot geht gegen 1          grün auch gegen 1  und blau auch gegen 1, also

Grenzwert insgesamt 4 .

Na ja, wenn man Argumente wie "und jetzt hat mal alles bekannte Grenzwerte" benutzt, dann passt das sicher. Aber der der rote Faktor ist irgendwie nicht weit vom ursprünglichen Problem entfernt, oder?

@mathef
lim x −> 0(-)  [ sin ( 4x ) / x ]
lim x −> 0(-)  [ sin ( 4x ) ]  = 0
lim x −> 0(-)  [ x ]  = 0
Also der Term insgesamt 0 / 0   

Das ist falsch!

Klär mich auf. Wo ist da etwas Falsches ?

@mathef
Bitte sage mir ob oder was falsch ist.

Klär mich auf. Wo ist da etwas Falsches ?

Der Fehlschluss liegt in der Idee:

Zähler hat Grenzwert 0 und Nenner hat Grenzwert 0 hätte

zur Folge, dass der Bruch den Grenzwert 0 hat.


Einfache Beispiele zeigen, dass dies nicht so ist:

Etwa  Bruch   x / x    für x gegen 0 hätten Zähler und Nenner den Gw 0,

ist aber natürlich GW=1

oder   x^2 / x    für x gegen 0 hätten Zähler und Nenner den Gw 0,

ist aber nach dem Kürzen x / 1 also stimmt in diesem Fall

Bruch hat Grenzwert 0

oder aber  x / x^2 für x gegen 0 hätten Zähler und Nenner den Gw 0,

ist aber nach dem Kürzen 1 / x also: Bruch hat Grenzwert  unendlich.

Fazit: Bei einem Bruch mit Zähler geht gegen Null und Nenner geht

gegen 0 , kann man allgemein nicht sagen.

Gutes Mittel zur Untersuchung ist manchmal: Regel von d' Hospital.

Der Fehlschluss liegt in der Idee:

Zähler hat Grenzwert 0 und Nenner hat Grenzwert 0 hätte

zur Folge, dass der Bruch den Grenzwert 0 hat.

Habe ich nicht behauptet. Ich schrieb

Also der Term insgesamt 0 / 0
( und kein Ergebnis angegeben, dies kommt erst mit )

Ein Fall für l´Hospital
[ sin ( 4x ) ] ´/  x ´ = [ cos (4x ) * 4 ] / 1

lim x −> 0(-)  [  cos (4x ) * 4 ] = 1 * 4 = 4 

Alles klar, hab nicht richtig hingesehen.

+1 Daumen

$$ \text{zu 2.} \lim_{x\to0} \left(\left|x\right|-x\right) = \lim_{x\to0} \begin{cases} \quad \,\,0,\text{ falls}\quad x\ge0\\-2x, \text{ falls}\quad x \le 0 \end{cases} = 0 $$

Dies ist aber auch ohne Rechnung klar, da eine Differenz stetiger Funktionen selbst auch stetig ist. Damit haben auch die einseitigen Limiten den Wert 0.

von
$$ \text{zu 1.}\quad \lim_{x\to0} \frac{\sin4x}{x} = \lim_{x\to0} \frac{\sin4x-\sin(4\cdot0)}{x-0} = 4\cdot\cos(4\cdot0) = 4 $$Dabei wird die Differenzierbarkeit von \(\sin(4x)\) an der Stelle \(x=0\) benutzt.

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