(an) konvergiert gegen a. Dann konvergiert ((-1)n an) genau dann, wenn a=0.

Question

Aufgabe:

(an) konvergiert gegen a. Dann konvergiert ((-1)ⁿ an) genau dann, wenn a=0.

Problem/Ansatz:

Irgendwie komme ich mit der Aufgabe nicht klar, weil ich dachte (-1)ⁿ ist divergent

Comments

Ein Produkt ist null, genau dann wenn einer seiner Faktoren null ist.

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Ein Produkt ist null, genau dann wenn einer seiner Faktoren null ist.

Das Produkt möchte ich mal sehen.

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"Das Produkt möchte ich mal sehen. "

Findest Du in jeder Schulklasse ;)

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Es muss heißen, "genau dann, wenn mindestens einer der beiden Faktoren Null ist".

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Das Wörtchen ändert doch gar nichts.

Ihr scheint allesamt nicht zu begreifen, dass der Nullproduktsatz auf die vorgelegte Aufgabe überhaupt nicht anwendbar ist.

Answer 1

1) Wenn $a = 0$ gilt, folgt $| (-1)^n a_n | = | a_n | < \epsilon$ für $n > n_0$, also ist die Folge $(-1)^n a_n$ebenfalls konvergent gegen $0$.

2) Wenn $b_n = (-1) a_n$ konvergent ist, dann auch jede Teilfolge von $b_n = (-1)^n a_n$

Die Teilfolge $b_{2n} = a_{2n}$ konvergiert gegen $a$ und die Teilfolge $b_{2n+1} = -a_{2n+}$ konvergiert gegen $-a$. Da der Grenzwert eindeutig ist gilt $a = -a$ also $a = 0$