Untersuche Funktion auf Stetigkeit

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},$ definiert durch

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} {x} & {\text { falls } x \leq 0} \\ {x^{2}} & {\text { falls } 0<x<2} \\ {e^{x}} & {\text { falls } x \geq 2} \end{array}\right.$

auf Stetigkeit. Hinweis: Sie dürfen ohne Begründung verwenden, dass die Exponentialfunktion stetig ist.

Ansatz:

Also durch den Hinweis muss ich mir ja sozusagen nur alle x<2 angucken, da e^x stetig ist, aber wie gehe ich jetzt weiter vor?

Answer 1

Sei $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definiert durch $f(x)=x\chi_{x \in (-\infty,0]}x^2\chi_{x\in(0,2)}e^x \chi_{x \in [2,\infty)}$.

Wir betrechten die rechts- und linksseitigen Limiten:

$\lim\limits_{x\nearrow 0} f(x) = \lim\limits_{x\nearrow 0} x = 0 = \lim\limits_{x\searrow 0} x^2 = \lim\limits_{x\searrow 0} f(x)$

$\lim\limits_{x\nearrow 2} f(x) = \lim\limits_{x\nearrow 2} x^2 = 4 \neq e^2= \lim\limits_{x\searrow 2} e^x = \lim\limits_{x\searrow 2} f(x)$

$\Rightarrow$ Die Funktion ist nicht stetig in $x=2$, also nicht global stetig $\square$

Answer 2

Also durch den Hinweis muss ich mir ja sozusagen nur alle x<2 angucken, da ex stetig ist, aber wie gehe ich jetzt weiter vor? Lieben Dank.

Vielleicht wurde in der letzten Stunde auch bereits gezeigt, dass g(x) = x und h(x)=x² stetig sind. Verweise auf die konkrete Satznummer.

Dann musst du nur noch die Koppelungen an den Intervallenden der einzelnen Stücke untersuchen. D.h. an den Stellen x1= 0 und x2 = 2.