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Sei R ein Integritätsbereich. Wie kann ich zeigen, dass durch assoziiert sein eine Äquivalenzrelation definiert wird?

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Zwei Elemente \(a,b\in R\) heißen assoziiert, wenn es eine Einheit

\(u\in R\), d.h. ein invefrtierbares Element in \(R\) gibt, so dass

\(b=u\cdot a\) ist.

Reflexivität: sei \(a \in R\), dann ist \(a=1\cdot a\) und \(1\) ist eine

Einheit in \(R\).

Symmetrie: sei \(a\sim b\). Dann gibt es eine Einheit \(u\in R\) mit

\(b=u\cdot a\; \Rightarrow\; a=u^{-1}\cdot b\), also \(b\sim a\).

Transitivität: seien \(a\sim b\) und \(b\sim c\). Dann gibt es invertierbare

\(u,v\in R\) mit \(b=u\cdot a\) und \(c=v\cdot b\), also \(c=vu\cdot a\).

Da das Produkt zweier Einheiten wieder eine Einheit ist, folgt

\(a\sim c\).

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