Jede Partition definiert eine Äquivalenzrelation?

Question

Hey,

man soll zeigen, dass jede Partition (Ai)i∈I eine Äquivalenzrelation definiert.

Hierbei ist aRb, wenn a ∈ Ai und b ∈ Ai

Wie zeige ich nun, dass jede Partition eine Äquivalenzrelation definiert?

Danke

Answer 1

Da sich die an der Partition beteiligten

Teilmengen nicht überschneiden ist R wohldefiniert.

Zeige die drei definierenden Eigenschaften:

reflexiv , symmetrisch und transitiv:

reflexiv: Wenn A die Menge ist, die durch die Partition zerlegt wird:

           Für alle a∈A gilt aRa , also a liegt mit a zusammen in der
                                             gleichen Teilmenge A_i. ✓

und weil durch die Partition ganz A abgedeckt wird, gilt das für

jedes a.

symmetrisch : Wenn a und b beide in A_i liegen, dann auch b und a. ✓

transitiv: Wenn sowohl a und b als auch b und c in A_i liegen,

                  dann auch a und c. (falsch , beachte die Kommentare!)

Comments

Mir fällt auf, dass Du bei Deinen Ausführungen die Eigenschaften einer Partition benutzt hast??

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Danke für den Hinweis (nicht benutzt ?) . Hab was ergänzt.

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Die Transitivität müsste auch anders angegangen werden:

Wenn aRb, also a und b in A_i, und bRc also b und c in A_k, dann

$$b \in A_i \cap A_k \Rightarrow i=k$$

Also liegen a,b,c in derselben Menge, insbesondere auch.

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OK, das hatte ich auch übersehen.

Ich setze einen Hinweis.