(1+1/n)^n kleiner als die Summe 1/k!

Question

Aufgabe:

(1+1/n)^n ≤ \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{1/(k!)} \)

Problem/Ansatz:

Ich versuche die Aufgabe per Induktion zu lösen aber schaffe es nicht sehr weit, ich versuche die Folge mit dem binomischen Lehrsatz darzustellen aber komme dann auch nicht wirklich weiter. Hat jemand ein paar Tipps?

Answer 1

Hi,

$$  \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \frac{ n! }{ (n-k)! n^k } $$ Jetzt gilt aber für \( k > 0 \) $$  \frac{ n! }{ (n-k)! n^k } = \frac{ 1 \cdots n }{ 1 \cdots (n-k) \cdot n \cdots n} = \frac{ (n-k+1) \cdots n }{n \cdots n} \le 1 $$ Für \( k = 0 \) gilt \( \frac{ n! }{ (n-k)! n^k } =  1 \)

Also insgesamt $$ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \le  \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \le \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} $$