Exponentialgleichung lösen

Question

liebe Mathefreunde,

kann mir bitte jemand bei der folgenden Aufgabe helfen:

4^x + 6^x = 9^x

Danke euch schob mal vorab.

Answer 1

Aloha :)

$$\left.4^x+6^x=9^x\quad\right|\;-6^x-4^x$$$$\left.9^x-6^x-4^x=0\quad\right|\;:4^x$$$$\left.\left(\frac{9}{4}\right)^x-\left(\frac{6}{4}\right)^x-1=0\quad\right.$$$$\left.\left(\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)^x-\left(\frac{3}{2}\right)^x-1=0\quad\right.$$$$\left.\left(\left(\frac{3}{2}\right)^x\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^x-1=0\quad\right.$$Setze nun $y:=\left(\frac{3}{2}\right)^x$, dann erhältst du eine quadratische Gleichung:$$y^2-y-1=0\quad\Rightarrow\quad y_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt5}{2}$$Weil per Definition $y>0$ sein muss, fällt die negative Lösung weg. Wir haben:

$$\left.\left(\frac{3}{2}\right)^x=y=\frac{1+\sqrt5}{2}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\left.x\ln\left(\frac{3}{2}\right)=\ln\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)\quad\right|\;:\ln(3/2)$$$$\left.x=\frac{\ln\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)}{\ln\left(\frac{3}{2}\right)}\approx1,186814\quad\right.$$

Comments

Klasse, Kollege.

Darauf wäre ich nicht so schnell gekommen. :)

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Ich auch nicht!

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Wow, danke dir vielmals...

Deine Antworten sind immer sehr verständlich. Dich hätte ich gerne als Mathelehrer oder Professor :)