Flächeninhalt der abgebildeten Polynome. Steckbriefaufgabe.

Question

 Man soll zu der Funktion die Gleichung und den blau markierten Flächeninhalt bestimmen.

Was kommt da raus, brauche es da ich morgen eine 3 stündige LK Arbeit schreibe..... :(

Comments

Sind das Polynome 3. Grades?

Answer 1

Da ich alle Nullstellen sehen kann erwarte ich eine Funktion der Form

f(x) = a·(x + 1)·(x - 1)·(x - 3)

Nun brauche ich nach das a. Dazu kann ich folgende Bedingung nehmen:

f(4) = 5
a·(4 + 1)·(4 - 1)·(4 - 3) = 5
a = 1/3

Damit lautet die Funktion

f(x) = 1/3·(x + 1)·(x - 1)·(x - 3) = 1/3·x^3 - x^2 - 1/3·x + 1

Damit kann ich nun die Fläche bestimmen

∫(ABS(1/3·x^3 - x^2 - 1/3·x + 1), x, -2, 4) = 41/6 = 6.833

Answer 2

Hi Engel,

 

die gesuchte Funktion f(x) ist offensichtlich eine Funktion 3. Grades, wir brauchen also 4 Informationen, um die Funktionsgleichung aufzustellen.

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

f(1) = 0 = a + b + c + d

f(-1) = 0 = -a + b - c + d

f(3) = 0 = 27a + 9b + 3c + d

f(-2) = -5 = -8a + 4b - 2c + d

a = 1/3

b = -1

c = -1/3

d = 1

Die Funktion lautet also:

f(x) = 1/3 * x³ - x² - 1/3 * x + 1

Eine Stammfunktion dazu ist

F(x) = 1/12 * x⁴ - 1/3 * x³ - 1/6 * x² + x

Jetzt rechnest Du, um die gesamte markierte Fläche zu erhalten:

F(4) - F(3) +       

- [F(3) - F(1)] | Minuszeichen, weil Du sonst eine negative Fläche erhalten würdest  

+ F(1) - F(-1) +      

- [F(-1) - F(-2)]        

 

Besten Gruß und viel Erfolg!

 

P.S. Das Endergebnis stimmt mit dem vom Mathecoach überein :-)