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Aufgabe:

Bestimmen Sie alle x ∈ ℤ, die folgende Gleichung erfüllen:

i. x  ≡ 1 mod 12,

ii. x + 2  ≡ 0 mod 12,

iii. 2x  ≡ 4 mod 12.


Problem/Ansatz:

ich soll von den oben genannten Kongruenzen die Lösungsmengen bestimmen.

Mein Ansatz wäre eine lineare Funktion, mit welcher ich die x-Werte bestimmen könnte:

i. x = 12y +1

Ich wüsste aber nicht wie ich weiter verfahren sollte.

Ich freue mich über jede Hilfe.

von

3 Antworten

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Beste Antwort

Scherzaufgabe?

aus i folgt, dass x ungerade ist

aus ii folgt, dass x gerade ist.

L=∅



falls 3 Aufgaben:

i: 12 I x-1, also {... 1,13,25,37...}

I heißt "teilt". a≡b mod c heißt 12 teilt a-b.

x≡1 mod 12 heißt x=1 +k*12, k∈ℤ

ii: 12 I x+2, also {... -2,10,22,34...}

iii : 2x≡4 mod 12 also 12 I 2x-4=2(x-2)

also 6 I x-2, also {... 2,8,14,20,26...}

von 3,2 k
+1 Daumen

Hallo

i) x muss ungerade sein

ii) x muss gerade sein

welche Lösungen sind es dann? steht da wirklich überall mod 12?

Gruß lul

von 32 k

dann müsste für i. gelten: x ∈ {2y, y ∈ Z}

und für ii.: x ∈ {2y+1, y ∈ Z}

Und ja, da steht wirklich überall mod 12.

Danke schon mal für deine Hilfe.

korrigiere:

i.: x ∈ {2y+1, y ∈ Z}

und für ii.: x ∈ {2y, y ∈ Z}

+1 Daumen

Warum in der Überschrift "eine Kongruenz" und unten "Kongruenzen" ?

Ist das alles eine Aufgabe oder sind das drei Teilaufgaben?

Bei i) allein ist die Lösungsmenge L = { .....-23, -11, 1, 13, 25, 37, ....}

usw.

Falls alles zusammengehört, ist die Antwort L = { } leere Menge, da die Lösungsmengen von i und ii keine gemeinsamen Elemente enthalten.

von 158 k 🚀

Ich vermute, dass es sich hierbei um drei Teilaufgaben handelt.

Es wird ja explizit nach x-Werten gefragt und eine leere Menge wäre da keine passende Antwort.

Wie kommt man denn jetzt genau auf die Lösungsmenge? Gibt es da ein bestimmtes Verfahren?

Danke schon mal.

Ich habe die bei i) einfach hingschrieben in "aufzählender Form". (kopfrechnen).

Du kannst auch schreiben L = { 12 k + 1 | k ∈ ℤ }  Das ist die gleiche Menge.

Interessanter ist dann erst iii.

s.o die Ergänzung

Dann müsste für ii. gelten: L = {...-42,-28,-14,0,14,28,42...} , {L = 12k +2 | k ∈ ℤ }

Und für iii.: L = {...-136,-56,-16, 4, 32, 88, 200...}, {L = 12k *2 | k ∈ ℤ }

oder liege ich völlig falsch?

Achtung die negativen Elemente der Lösungsmenge bei ii stimmen noch nicht.

Bei iii hat dir Helmus das schon ausgerechnet. Da hast du viel zu wenige Elemente in der Lösungsmenge.

ach ja, jetzt sehe ich es auch.

Vielen Dank für eure Hilfe!

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