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Aufgabe
Bestimmen Sie einen Näherungswert für \(\ln 3\), indem Sie die Funktion \(f: D \to \mathbb{R}, D \subseteq \mathbb{R} \operatorname{mit} f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}\) an der Stelle \(x^{*}=0 \) in ein Taylorpolynom 4. Grades entwickeln und schätzen Sie den Fehler mithilfe des Restgliedes ab.

Ansatz
Ich habe die ersten 4 Ableitungen gebildet und dann in das Taylorpolynom $$T_{a, n}(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a) \cdot (x-a)^{k}}{k !}$$ eingesetzt:

$$T_{0, 4}(x)= \frac{f^{(0)}(0) \cdot (x-0)^{0}}{0 !}+\frac{f^{(1)}(0) \cdot (x-0)^{1}}{1!}+\frac{f^{(2)}(0) \cdot (x-0)^{2}}{2!}+\frac{f^{(3)}(0) \cdot (x-0)^{3}}{3 !}+\frac{f^{(4)}(0) \cdot (x-0)^{4}}{4 !}$$
$$T_{0, 4}(x)= \frac{\ln(1) \cdot 1}{1}+\frac{2\cdot x}{1}+\frac{0 \cdot x^2}{2}+\frac{4 \cdot x^3}{6}+\frac{0\cdot x^4}{24}$$
$$T_{0,4}(x)=0+2x+0+\frac{2}{3}x^3+0$$

\(R_n(x)=\ln\frac{1+x}{1-x}-(2x+\frac{2}{3}x^3)\)
Nun soll ich aber noch den Fehler mithilfe des Restgliedes abschätzen. Das hatten wir folgendermaßen definiert:

Sei \(D \subseteq \mathbb{R}\), und sei \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) eine Funktion, die an der Stelle \(x^{\star} \in D\) mindestens \(n\)-mal differenzierbar ist. Der "Fehler" \(R_{n}(x)=f(x)-T_{n}\left(x^{\star} ; x\right)\) heißt Restglied.


Sei \(D \subseteq \mathbb{R}\) und sei \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) eine \((n+1)\)-mal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt: \(\lvert R_{n}(x)\rvert=\lvert f(x)-T_{n}\left(x^{\star} ,x\right)\rvert \leq \frac{M}{(n+1) !}\lvert x-x^{\star}\rvert^{n+1}\) wobei \(M\) so gewählt ist, dass \(\lvert f^{(n+1)}(x)\rvert \leq M\) für alle \(x \in D\).

Leider komme ich mit der Abschätzung nicht zurecht, d.h. ich bräuchte Hilfe dabei. Woher weiß ich denn, wie ich den Fehler abschätzen kann? (Das Restglied habe ich ja schon bestimmt, nur weiß ich nicht, wie ich das \(M\) wählen soll.)

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2 Antworten

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Beste Antwort

da du ln(3) näherungsweise bestimmen sollst, muss bei  ln( (x+1)/(1-x) ) der Bruch = 3  sein, also  x = 1/2  verwendet werden.

Für M brauchst du den maximalen Wert von | f(5) (x) | im Intervall  [0, 1/2]

Wegen  f(6)(x) = 480·x·(3·x^4 + 10·x^2 + 3)/((x + 1)^6·(x - 1)^6) ≥ 0  ist  f(5) in  [0, 1/2]  monoton steigend.

Der Maximalwert von |f(5)(x)|  in [0, 1/2]  ist also  f(5)(1/2) ≈ 771,161 = M

Damit ergibt sich der abgeschätzte Maximalfehler zu

771,161 / 5! · |1/2 - 0|5  ≈ 0,2008

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

Danke dir, das hat mir geholfen!

gern geschehen

Alles gut, habe den Fehler gefunden. Habe jetzt dasselbe Ergebnis raus!

+1 Daumen

Hallo

1, musst du noch die richtigen Zahlenwerte für x einsetzen.

2. M ist der maximale Wert von f(n+1) in dem Intervall zwischen x0 und x hier also zwischen 0 und 1/2, das steht doch aber dabei?

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

Danke dir! Hatte voll übersehen, dass ich das x ja wählen kann.

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