Erzeugendensystem, Basis einer Menge

Question

Aufgabe:

$$\begin{array}{l}{\text { Gegeben ist die Menge E} \subseteq \mathbb{R}_{\leq 4}[x]} \\ {\qquad E:=\left\{x^{4}+x^{3}-1, x^{2}-x-1, x^{4}+x^{2}-x, x^{3}-2\right\}} \\ {\text { (a) Sind die Vektoren in E } \text { linear unabhängig? }} \\ {\text { (b) Zeigen Sie, dass M:=}\left\{x^{4}+x^{3}-1, x^{2}-x-1, x^{3}-2\right\} \subset E \text { ein Erzeugendensystem von span(E) ist.}} \\ {\text { (c) Bestimmen Sie eine Basis von span(E) } \text { und geben Sie die Dimension von span(E) an }} \\ {\text { an. }}\end{array}$$

Problem/Ansatz: Normalerweise bestimmen, wir EZS, Basis von Matrix, Vektor usw, deswegen bin ich hier bei einer Menge etwas verwirrt.

Also mein Ansatz

a) 1+2.Vektor=3+4.Vektor => linear abhängig, wenn ich das aber versuche zu beweisen mit dem Koeffizientenvergleich sind alle meine Koeffizienten 0? vielleicht habe ich mich auch einfach nur verrechnet

zu b) aus a folgt dann span(E) = (a₁(x⁴+x³-1)+ a₂(x²-x-1))

EZS ja da  a₁(x4+x3-1)+ a₂(x²-x-1) + 0*(x³-2) = span(E)

zu c) Wäre dann die Basis nicht auch direkt {x⁴+x³-1,x²-x-1,x³-2} Dann hätten wir dim(span(E))=3, aber wir haben Polynome in E bis Grad 4, dann müsste doch die Basis dim(5) haben, bin total verwirrt wegen dieser Menge.

Vielen Dank für die Hilfe.

Answer 1

Hallo

v1+v2=v3+v4 ist richtig, und deshalb sind sie lin. abhängig (was du mit "Koeffizientenvergleich" meinst verstehe ich nicht.

b) aus a folgt nur dass E maximal 3d ist, woher weisst du dass es 2d ist.

dein Span E ist falsch du kannst ja aus den v1,v2   v3  kombinieren, nur v3+v4.

c) ist wieder richtig, aber widerspricht ja deinem b)

und E ist nicht der Raum der Polynom 4 ten Grades. sondern ein Unterraum. wie du ja mit der Basis aus 3 gezeigt hast.

(z.B erzeugt E  P(x)=x² nicht auch nicht x)

Gruß lul