Die Folge (an) sei rekursiv definiert durch an+1 = an − an^2 , a1 = x∈R

Question

Die Folge (a_n) sei rekursiv definiert durch
a_n+1 = a_n − (a_n)²
a₁ = x∈ℝ

(a) Untersuchen Sie, ob (a_n) monoton ist.

(b) Bestimmen Sie alle x∈ℝ, die als Grenzwerte der Folge (a_n) in Frage kommen.

(c) Untersuchen Sie, in Abhängigkeit vom Startwert x∈ℝ, ob (a_n) beschränkt bzw.
konvergent ist.

Comments

hat die Teilaufgabe c) vielleicht etwas mit einer Fallunterscheidung zu tun, also a > 0 und a < 0

Ich bräuchte ein Denkansatz für c)

Gruß

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Die Differenz der Folge ist doch -a_n^2

Das muss gegen 0 streben.

Welche Fallunterscheidung bietet sich daher besser an?

Answer 1

a)  a_n+1 -  a_n  =  a_n - a_n² - a_n = - a_n²  ≤ 0    

          →  die Folge ist monoton fallend

             für 0<x<1 ist die Folge streng monoton fallend

b)  Für genügend große n müssen sich a_n und a_n+1 "beliebig wenig" von einem eventuellen Grenzwert g unterscheiden

     Deshalb muss ggf. gelten:

      g = g - g²  →  g² = 0  →  g = 0

      Der einzig mögliche Grenzwert ist also g = 0

      Die Folge kann - abhängig von x - also nur von oben gegen 0 konvergieren.

c) 

Das geht vielleicht auch einfacher, aber ich habe es wie folgt "abgearbeitet":

Natürlich ist a_n  wegen der Monotonie durch a₁ = x nach oben beschränkt.

Mit a₁ = x ergibt sich für a_n  jeweils ein Polynom der Form

\(-x^{(2^{n-1})}+ ......+x\)  weil sich beim Übergang  a_n → a_n+1  der größte Exponent jeweils verdoppelt, alle anderen Exponenten beim Quadrieren größer werden und der Summand x neu dazu kommt. 

Für |x| > 1  ist die Folge deshalb nicht nach unten beschränkt (und kann deshalb auch nicht gegen den einzig möglichen Grenzwert 0 konvergieren).

Für  -1≤ x<0  kann a_n wegen der Monotonie sowieso nicht gegen 0 konvergieren.

Für x=0 und x=1 ist die Folge (für x=1 ab n=2) konstant 0.

Für 0<x<1  ist 0 eine untere Schranke wegen  a_n > a_n² und damit  a_n+1 > 0 gilt.

Wegen der strengen Monotonie konvergiert a_n  also gegen 0.

Gruß Wolfgang