Ring Rechenregeln Beweise

Question

Aufgabe:

Sei (R,+,•) ein Ring mit n∈ℕ\{0}. Es wird definiert aⁿ := a•a...•a (n Faktoren).

Zeigen Sie: ∀a∈R: (-a)ⁿ = (a)ⁿ falls n gerade ist.

                                              -(a)ⁿ falls n ungerade ist

Problem/Ansatz:

… In den vorigen Aufgaben war zu zeigen, dass (-a)•b = (-b)•a = -(a•b) und (-a)•(-b) = ab ist, was man sehr einfach mit den Rechenregeln im Ring nachweisen kann.

Mir stellt sich jetzt zur obigen Aufgabe die Frage wie ich das genau formal beweisen kann.

Meine Idee:

Für n=2k mit k∈ℕ ist die Anzahl der Faktoren (-a) immer ein Vielfaches von 2. Da gezeigt wurde, dass (-a)•(-b) = ab ist, ist (-a)^n mit n=2k auch positiv. Für n=2k+1ist die Anzahl der Faktoren eben nie ein Vielfaches von zwei, sodass wegen (-a)•b=a•(-b)=-(a•b) folgt, dass (-a)^n mit n=2k+1 negativ ist.

Kann man das auch formaler beweisen? Oder ist das so in Ordnung?

MFG

Pascal

Answer 1

Man will eine Ind. sehen!

Behauptung I umgeschrieben: ∀a∈R: (-a)²ⁿ = (a)²ⁿ falls n∈ℕ\{0}

Bew: Ind.Verank: n=1

(-a)²=(-a)(-a)=aa=a² ist schon mühsam bewiesen worden!

Schritt: n→n+1

(-a)²⁽ⁿ⁺¹⁾ = (-a)²ⁿ*(-a)² = (a)²ⁿ*(a)²=(a)²ⁿ⁺²=(a)²⁽ⁿ⁺¹⁾ nach Ind.Ann. und Ind.Verank.

II: mit 2n-1 genauso