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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die folgende Defnition eine Gruppe äquivalent zu der Defnition aus der Vorlesung
ist. Eine Halbgruppe (G, ⊕) wird Gruppe genannt, falls gilt:
• Es existiert ein linksneutrales Element e ∈ G, mit e ⊕ a = a für alle a ∈ G.
• Zu jedem Element a ∈ G existiert ein linksinverses Element a−1 ∈ G mit a−1 ⊕ a = e

1. e ⊕ a = a ⇒ a ⊕ e = a für alle a ∈ G.
2. a−1 ⊕ a = e ⇒ a ⊕ a−1 = e für alle a ∈ G.

Beweisen Sie zunächst die 2. Aussage und dann die 1. mit Hilfe von 2.


Problem/Ansatz:

wie gehe ich das an?…

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1.) a ⊕ a-1 =e ⊕( a ⊕ a-1 ) =( (a-1)-1 ⊕ a-1) ⊕( a ⊕ a-1 ) = (a-1)-1 ⊕ (a-1 ⊕( a ⊕ a-1 ))

= (a-1)-1 ⊕((a-1  ⊕ a )⊕ a-1 ) = (a-1)-1 ⊕(e ⊕ a-1 ) = (a-1)-1 ⊕ a-1 ) = e

auch zu a−1 gibt es ein linksinverses El. ,  Ass.

2.)   a ⊕ e = a ⊕ ( a-1 ⊕ a) =( a ⊕ a-1) ⊕ a = e ⊕ a = a

wenn man 1.) umstandshalber unbedingt benutzen will:

a= e ⊕ a= ( a-1 ⊕ a) ⊕ a = ( a ⊕ a-1) ⊕ a  =  a ⊕ (a-1 ⊕ a) = a ⊕ e        war  zu beweisen

wegen 1.)

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