Welche der folgenden Operationen ◦ : Z × Z → Z legt eine Halbgruppe auf Z fest? Beweisen oder widerlegen Sie. Untersuchen Sie im Falle, dass die Halbgruppeneigenschaft gegeben ist, auch ob ein neutrales Element existiert.
a) a ◦ b = 2a + b + 1
b) a ◦ b = a + b − 2
c) a ◦ b = 3ab
Man muss ja eigentlich nur die Assoziativität zeigen bzw. widerlegen.
a) 2*3 + 1 + 1 = 8 != 2*(3+1+1)=10 =>Keine Halbgruppe
b)Da bin ich mir nicht ganz sicher, wie ich vorgehen soll. Ich bin mir sicher, dass die Assoziativität gilt, aber wie zeig ich das? Muss ich zeigen, dass (a + b) - 2 = a + (b - 2) ist oder muss ich zeigen, dass (a o b) o c = a o (b o c)?
Nur weiß ich nicht wie ich a o b o c bilden würden. Neutrales Element sollte die 2 sein.
c)Die multiplikation ist offensichtlich assoziativ, aber da ich weiß auch nicht wie ich das zeigen soll.
Neutrales Element wäre 1/3, aber da hier geht es um ganze Zahlen, also gibt es kein neutrales Element
Kann mir vielleicht nen Tipp geben, wie ich bei b) und c) vorgehen muss?
