Zeigen Sie, ob die Menge der Polynomen eine lineare Abbildung ist

Question

Aufgabe:  sei

\( \mathbb{R}[x]_{3}=\left\{a x^{3}+b x^{2}+c x+d: a, b, c, d \in \mathbb{R}\right\} \)

die Menge der Polynome vom Grad höchstens 3 und sei Sei

\( \mathbb{R}[x]_{2}=\left\{m x^{2}+n x+l: m, n, l \in \mathbb{R}\right\} \)

die Menge der Polynome vom Grad höhstens 2. Zeigen Sie, dass das Ableiten von Funktionen dritten Grades, also die Abbildung:

\( \left(0^{\prime}: \mathbb{R}[x]_{3} \rightarrow \mathbb{R}[x]_{2}\right. \)
\( (f)^{\prime} \mapsto f^{\prime} \)

linear ist

Wie kann man die beiden Eigenschaften (Additivität, Homogenität) in Bezug auf Vektoren beweisen?

Comments

...  in bezug auf Vektoren beweisen?

Weise nach, dass die Definitionen für Addition und Vielfachenbildung aus Analysis und Algebra gleichwertig sind.

Answer 1

Aloha :)

Die Ableitung eines Polynoms dritten Grades lautet:$$\left(ax^3+bx^2+cx+d\right)'=3ax^2+2bx+c$$Wählen wir als geordnete Basis $$B=\left(\left(\begin{array}{c}x^2\\0\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\x\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\right)$$können wir die Ableitung mit Hilfe einer Darstellungs-Matrix schreiben:$$\left(ax^3+bx^2+cx+d\right)'=\left(\begin{array}{c}3 & 0 & 0 & 0\\0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\\d\end{array}\right)$$

Answer 2

Du musst nur zeigen  (f+g)' = f' + g'   und  (a*f)' = a* f'

Das sind die gängigen Ableitungsregeln.

Comments

ja die Regeln kenne ich schon,kann aber nicht beweisen